[数学 - 高级代数] 第 10 讲 最大公因式分解

第一章-多项式

§4.最大公因式

一 公因式的定义

定义：f(x)，g(x)  h(x)∈p[x],如果h(x)|f(x)  h(x)|g(x)称h(x)为f(x)与g(x)的公因式。

注：

(1)∀c∈p,c≠0，c|f(x)  c|g(x),即c是f(x)与g(x)的公因式。

(2)0|f(x)， 0|g(x)=>f(x)=g(x)=0

二最大公因式的定义

定义：f(x)，g(x)∈p[x],若d(x)∈p[x],满足

①d(x)|g(x)   d(x)|f(x)

②对于f(x),g(x)任一个公因式h(x)，都有h(x)|d(x)称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式。

称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式。

注：

(1)f(x)=g(x)=0，0是0与0一个最大公因式

(2)f(x)|g(x)，则f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。

下面我们来证明(2)

∵f(x)|g(x)，f(x)|g(x）

又∵h(x)|f(x)  h(x)|g(x)=>h(x)|f(x)

∴f(x)是f(x)与g(x)一个最大公因式。

(3)g(x)=0,则f(x)是f(x)与g(x)一个最大公因式。

(4)若d(x)是f(x)与g(x)最大公因式，cd(x)也是f(x)与g(x)一个最大公因式。

下面我们来证明(4)

∵d(x)是f(x)与g(x)最大公因式

∴d(x)|f(x)，d(x)|g(x)

设k(x)=cd(x)，c≠0

∴k(x)|d(x)，k(x)|f(x)，k(x)|g(x)

∀h(x)|f(x)，h(x)|g(x)

∵d(x)是f(x)与g(x)最大公因式

∴h(x)|d(x)，又∵d(x)|k(x)

∴h(x)|k(x)

∴k(x)是f(x)与g(x)的最大公因式。

(5)若d1(x)，d2(x)是f(x)与g(x)最大公因式，则∃c∈p，c≠0，d2(x)=cd1(x)。

下面来证明(5)

d1(x)|f(x)，d1(x)|g(x)

又∵d2(x)是f(x)与g(x)最大公因式，=>d2(x)|d1(x)

∵d1(x)是f(x)与g(x)最大公因式

∴d1(x)|f(x)，d1(x)|g(x)

又∵d2(x)是f(x)与g(x)最大公因式

∴d1(x)|d2(x)

∴同理d2(x)|d1(x)

∴∃c∈p,c≠0则d2(x)=cd1(x)

三最大公因式的存在性

引理：f(x)，g(x)，q(x)，r(x)∈p(x)且f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，则f(x)与g(x)和g(x)与r(x)有相同公因式。

定理：对∀f(x)，g(x)∈p[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可表示成f(x)，g(x)的一个组合，即∃u(x)，v(x)∈p[x]，使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。

证：若f(x)，g(x)有一为0，如g(x)=0,则f(x)就是一个最大公因式。且f(x)=1·f(x)+0·g(x)，用g(x)除f(x)得：f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)

四最大公因式的求法

定理：对∀f(x)，g(x)∈p[x]在p[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可表示成f(x)，g(x)的一个组合，即∃u(x)，v(x)∈p[x]，使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。

说明：

(1)定理中用来求最大公因式的方法，称为辗转相除法。

(2)定理中最大公因式u(x)，v(x)不唯一。

看一道例题：

五互素的定义

定义：f(x)，g(x)∈p[x],若(f(x),g(x))=1，则称f(x),g(x)为互素。

定理1：p[x]中两个多项式f(x)，g(x)互素的充分必要条件是有p[x]中的多项式u(x)，v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。

定理2：如果(f(x)，g(x)=1,且f(x)|g(x)h(x)，那么f(x)|h(x)。

推论：如果f1(x)|g(x),f2(x)|g(x),且(f1(x)，f2(x))=1，那么f1(x)f2(x)|g(x)

练习：

上一节的答案：

编辑：华仔

审核人：妮芷  水亦心