一元多项式整除

多项式整除的性质

性质1

对于任意两个多项式 f(x),g(x), 其中 g(x)≠0,
由带余除法， 存在多项式 q(x),r(x),
使得 f(x)=q(x)g(x)+r(x),
其中 r(x)=0 或 deg(r(x))<deg(g(x)) 。
则 g(x)|f(x)⇔r(x)=0

证明

1. g(x)|f(x)⇒ 存在多项式 h(x) 使得
   f(x)=h(x)g(x)⇒f(x)=h(x)g(x)+0⇒r(x)=0
2. r(x)=0⇒f(x)=q(x)g(x)

性质2

对于任意两个多项式 f(x),g(x), 若 f(x)|g(x) 且 g(x)|f(x), 则存在常数 c≠0 使得 f(x)=cg(x)

证明

f(x)|g(x)⇒ 存在多项式 q1(x) 使得 g(x)=q1(x)f(x)
g(x)|f(x)⇒ 存在多项式 q2(x) 使得 f(x)=q2(x)g(x)
若 f(x)=0 则 g(x)=0, 易知命题成立。
下面只考虑 f(x)≠0 的情况。
于是 f(x)=q1(x)q2(x)f(x)⇒q