了解矩阵的行列式、方阵和逆矩阵

如果矩阵A中m等于n，称为矩阵A为n阶矩阵（或n阶方阵）

 

从左上到右下的对角线为主对角线，从右上到左下的对角线为次对角线

 

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | ，可以看作在几何空间中，一个线性变换对“面积”或“体积”的影响。

行列式的性质：

性质1：如果(a,b)=(1,0),(c,d)=(0,1)则平行四边形变成正方形，面积=1，A为单位阵

性质2：若A有相同的两行，则det(A)=0. 看一个极端情况，如果(a,b)=(c,d),即向量(a,b)与(c,d)重合，面积肯定为0。

性质3：det(A)对单独任一行满足线性关系，即将（a,b）伸缩t倍，另一条边不变，面积也伸缩t倍

性质4：交换两行，det(A)变号。将面积定向处理，右手定则是大家普遍遵守的，因此，行1，行2对应向量的方向满足右手定则，则定义det(A)为正，否则为负。

性质5：若矩阵中有一行为全0行，则行列式为0.利用性质3，全0行，提出一个因子0，行列式肯定为0.

性质6：从一行中减去其它行的几倍，行列式不变。

性质7：若矩阵A为三角阵，则行列式等于对角元上元素的乘积。

性质8：A是奇异阵且不可逆，行列式为0；反之，行列式不为0。

性质9：矩阵AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式行列式的含义是面积（体积）的放大倍数，AB可以看成是级联系统，级联系统的放大倍数等于分别每一级放大倍数的乘积。

性质10：A转置的行列式等于A的行列式。行列式的含义是体积的放大倍数，转置后，体积放大倍数也没有发生变化。

 

 

假设为3*3的方阵

 

A = a13a21a32 + a12a23a31 + a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31

 

代数余子式求法

 

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具体推导如下：

 

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。如果A不存在逆矩阵，那么A称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A^-1。

矩阵的逆具有以下性质：

如果矩阵A是可逆的，那么矩阵A的逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A，记作(A^-1)^-1=A

可逆矩阵A的转置矩阵A^T也可逆，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律，即AB=AC => B=C

矩阵A可逆的充要条件是行列式|A|不等于0

逆矩阵求解公式：

 

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求解线性方程组

一、消元法

二、矩阵的初等变换求解