对数决定函数分析

最编程 2024-03-03 09:12:35

...

定义：函数

f\left( X \right) = \log \det X

，

domf \in S_{ + + }^n

，则称函数

f

为对数-行列式函数，现在我们想分析该函数是凸函数还是凹函数？或是非凸又非凹？
总体思路：由于该函数的自变量是正定的对称矩阵（

n \times n

矩阵），定义域为正定对称矩阵构成的一个矩阵空间，是一个典型的高维函数，针对这类函数，我们可以先用一些特例去验证：譬如

n=1

,即X为一维矩阵，那么

\det X

就等于它本身，而我们知道log函数是凹函数，因此至少对数—行列式函数不是凸函数，因为我们已经找到一个反例了，那它是不是凹函数呢？接下来我们将去验证。

准备知识：在分析对数—行列式函数的凹凸性之前，回顾一下有关线性代数的知识，这些知识将是我们接下来分析中需要用的。
（1）设A、B为两个

n \times n

的矩阵，那么我们有

\det (AB)=\det A \det B

,即两个相乘矩阵的行列式等于分别求行列式再相乘。
（2）假设

\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n

为矩阵

A

的特征值，那么

\det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

.
（3）特征值分解：即任何一个对称矩阵

A

都可以分解成

Q\Lambda {Q^T}

的形式，其中，

\Lambda

为对角阵，且其对角线上的元素为矩阵

A

的特征值，

Q{Q^T}=I

。

分析与证明：我们将函数

f\left( X \right) = \log \det X

转化为任意直线上的单变量函数来分析它的凹凸性（这也是对高维变量函数验证凹凸性通常的做法）。令

X=Z+tV

，其中，

Z,V \in S^n

,定义

g \left(t\right)=f \left(Z+tV \right)

,变量t满足

X=Z+tV \succ0

（假设

t=0

时，

Z \succ0

）,有：

g \left(t\right)= \log \det \left(Z+tV\right) =\log \det \left( Z^{\frac{1}{2}}\left( I + tZ^{ - \frac{1}{2}}VZ^{ - \frac{1}{2}} \right){Z^{\frac{1}{2}}} \right)=\log \det \left(Z^{\frac{1}{2}} \right) \det \left(I + t{Z^{ - \frac{1}{2}}VZ^{ - \frac{1}{2}}} \right)\det \left(Z^{\frac{1}{2}} \right)=\log \det\left(Z^{\frac{1}{2}} \right)+\log \det\left(I + t{Z^{ - \frac{1}{2}}VZ^{ - \frac{1}{2}}} \right)+\log \det\left(Z^{\frac{1}{2}} \right)=2\log \det\left(Z^{\frac{1}{2}} \right)+\log \det\left(I + t{Z^{ - \frac{1}{2}}VZ^{ - \frac{1}{2}}} \right)=\log \det\left(Z \right)+\log \det\left(I + t{Z^{ - \frac{1}{2}}VZ^{ - \frac{1}{2}}} \right)

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