矩阵 AB 和 BA 的特征值关系
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2024-03-03 09:35:42
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\quad 本文考察这样的两个矩阵： A ∈ R m × n ， B ∈ R n × m A\in R^{m\times n}，B\in R^{n\times m} A∈Rm×n，B∈Rn×m.于是 A B ∈ R m × m ， B A ∈ R n × n AB\in R^{m\times m}，BA\in R^{n\times n} AB∈Rm×m，BA∈Rn×n.它们都是方阵但阶次不同.我们将证明：
\quad AB和BA具有相同的非零特征值.
\quad 证明：
\quad 考察这样两个矩阵： [ A B O B O ] \begin{bmatrix}AB&O\\B&O\end{bmatrix} [ABBOO]和 [ O O B B A ] \begin{bmatrix}O&O\\B&BA\end{bmatrix} [OB
\quad AB和BA具有相同的非零特征值.
\quad 证明：
\quad 考察这样两个矩阵： [ A B O B O ] \begin{bmatrix}AB&O\\B&O\end{bmatrix} [ABBOO]和 [ O O B B A ] \begin{bmatrix}O&O\\B&BA\end{bmatrix} [OB