普通一维随机变量概率分布的 Python 实现
一. 随机变量
随机变量是一个从样本空间 Ω \Omega Ω到实数空间 R R R的函数，比如随机变量 X X X可以表示投骰子的点数。随机变量一般可以分为两类：
- 离散型随机变量：随机变量的取值为有限个。
- 连续型随机变量：随机变量的取值是连续的，有无限多个。
scipy.stat模块中包含了多种概率分布的随机变量,包含离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的常见接口如下：
| 方法名 | 功能 |
|---|---|
| rvs | 生成该分布的随机序列 |
| pmf | 概率质量函数 |
| cdf | 累计概率分布函数 |
| stats | 计算该分布的均值，方差，偏度，峰度。[Mean(‘m’), variance(‘v’), skew(‘s’), kurtosis(‘k’)] |
连续型随机变量的常见接口如下：
| 方法名 | 功能 |
|---|---|
| rvs | 生成该分布的随机序列 |
| 概率密度函数 | |
| cdf | 累计概率分布函数 |
| stats | 计算该分布的均值，方差，偏度，峰度。[Mean(‘m’), variance(‘v’), skew(‘s’), kurtosis(‘k’)] |
二. 常见离散分布
1. 二项分布
如果随机变量 X X X的分布律为 P ( X = k ) = C n k p k q n − k ， k = 0 , 1 , . . . n ， P(X=k) = C^k_np^kq^{n-k}，k = 0,1,...n， P(X=k)=Cnkpkqn−k，k=0,1,...n，其中 p + q = 1 p + q = 1 p+q=1 ,则称 X X X服从参数为 n , p n,p n,p的二项分布，记为 X ∼ B ( n , p ) X \sim B(n,p) X∼B(n,p)。
- 期望： E ( X ) = n p E(X) = np E(X)=np
- 方差: D ( X ) = n p ( 1 − p ) D(X) = np(1 - p) D(X)=np(1−p)
-
画出不同参数下的二项分布， n , p n, p n,p分别为 ( 10 ， 0.3 ) , （ 10 ， 0.5 ） , （ 10 ， 0.7 ） (10，0.3),（10，0.5）,（10，0.7） (10，0.3),（10，0.5）,（10，0.7）
import numpy as np from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams["font.family"] = "SimHei" # 设置字体 plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # 正常显示负号 if __name__ == '__main__': fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10)) # 调整子图间距 fig.subplots_adjust(hspace = 0.5) params = [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7)] for i in range(len(params)): n = params[i][0] p = params[i][1] x = np.arange(0, n + 1) y = binom(n, p).pmf(x) # 计算随机变量的期望,方差 mean, var = binom.stats(n, p, moments='mv') ax[i].scatter(x, y, color = 'blue', marker = 'o') ax[i].set_title('n = {}, p = {}'.format(n, p)) ax[i].set_xticks(x) ax[i].text(1, 0.2, '期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}'.format(mean, var)) ax[i].grid() plt.show()运行结果：
-
生成服从不同参数二项分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布
import numpy as np from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams["font.family"] = "SimHei" # 设置字体 plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # 正常显示负号 if __name__ == '__main__': fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10)) # 调整子图间距 fig.subplots_adjust(hspace = 0.5) params = [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7)] for i in range(len(params)): n = params[i][0] p = params[i][1] x = np.arange(0, 11) # 抽样10万次 sample = binom.rvs(n = n, p = p, size = 100000) print(sample) ax[i].hist(sample, color = 'blue', density=True, bins = 50) ax[i].set_title('n = {}, p = {}'.format(n, p)) ax[i].set_xticks(x) ax[i].grid() plt.show()运行结果：
2. 几何分布
若随机变量 X X X的分布律为 P ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p ， k = 1 , 2 , . . . ， P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p，k = 1, 2, ...， P(X=k)=(1−p)k−1p，k=1,2,...，其中 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1,则称 X X X服从参数为 p p p的几何分布，记为 X ∼ G e ( p ) X \sim Ge(p) X∼Ge(p)。
- 期望： E ( X ) = 1 p E(X) = \frac{1}{p} E(X)=p1
- 方差： D ( X ) = 1 − p p 2 D(X) = \frac{1 - p}{p^2} D(X)=p21−p
-
画出不同参数下的几何分布， p p p分别为 ( 0.3 ， 0.5 ， 0.7 ) (0.3，0.5，0.7) (0.3，0.5，0.7)
import numpy as np from scipy.stats import geom import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams["font.family"] = "SimHei" # 设置字体 plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # 正常显示负号 if __name__ == '__main__': fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10)) # 调整子图间距 fig.subplots_adjust(hspace = 0.5) params = [0.3,0.5,0.7] for i in range(len(params)): p = params[i] x = np.arange(1, 15) y = geom(p = p).pmf(x) print(y) # 计算随机变量的期望,方差 mean, var = geom.stats(p = p, moments='mv') ax[i].scatter(x, y, color = 'blue', marker = 'o') ax[i].set_title('p = {}'.format(p)) ax[i].set_xticks(x) ax[i].text(5, 0.2, '期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}'.format(mean, var)) ax[i].grid() plt.show()运行结果：
-
生成服从不同参数几何分布的随机数组(采样100000次)，然后查看数组的频率分布
import numpy as np from scipy.stats import geom import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams["font.family"] = "SimHei" # 设置字体 plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # 正常显示负号 if __name__ == '__main__': fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize = (10, 10)) # 调整子图间距 fig.subplots_adjust(hspace = 0.5) params = [0.3, 0.5, 0.7] for i in range(len(params)): p = params[i] x = np.arange(0, 15) # 抽样 sample = geom.rvs(p = p, size = 100000) print(sample) ax[i].hist(sample, color = 'blue', density=True, bins = 50) ax[i].set_title('p = {}'.format(p)) ax[i].set_xlim(0,15) ax[i].set_xticks(x) ax[i].grid() plt.show()运行结果：
3. 泊松分布
若随机变量 X X X的分布律为 P ( X = k ) = λ k k ! e − λ ， k = 0 , 1 , 2... ， P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，k = 0, 1, 2 ...， P(X=k)=k!λke−λ，k=0,1,2...，其中 λ > 0 ， \lambda > 0， λ>0，则称 X X X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，记为 X ∼ P ( λ ) X \sim P(\lambda) X∼P(λ)。
- 期望： E ( X ) = λ E(X) = \lambda E(X)=λ
- 方差： D ( X ) = λ D(X) = \lambda D(X)=λ
-
画出不同参数下的泊松分布， λ \lambda λ分别为