[有限体积法] (4)

这次想讨论一下2D情况下显格式和隐格式的FVM处理，并说三种不同于TDMA的迭代方法！

1. 2D：

有了之前1D的知识储备，2D就好理解了。

照猫画虎，写出2D情况下的方程：

​

模型参考：

再一次假设当我们把控制体无穷小分开时，物理量符合线性分布，这样利用线性插值来近似，时间上采用显格式形式，有：

同样对于上面的式子，我们写成系数的形式：

观察上面的式子，依然可以利用1D的思想，中心控制体是受到周围四个控制体影响的，是他们的加权平均值。

    ​   于是，考虑以下的问题：有一个3米*2米的矩形。

我们将这个面分成5*5的结构化网格。

显式格式：

类似于1D情况，2D我们也在边界外侧引入虚拟点。套用（3）式，先对于内部节点进行赋值计算：

对于T11角节点:

很好理解，距离缩小一半，影响程度扩大一半。

对于T12边界节点：

对于这三类节点（内部节点，角节点，边界节点），全部按照各自思路来计算，这样一共得到25个公式。

各个节点的温度，如下图（当然了，网格越密结果越精确。）：

隐格式：

想着重说一下隐格式的处理：

同样的，利用（4）式将表达式表示成系数形式：

将未知量和已知量分开表示，如（6）式：

这样的话，如果你代入数据整理，你会发现它的系数矩阵就是一个五对角稀疏矩阵。类比于1D情况，求解未知的系数矩阵的方法，TDMA是否在2D情况下派上用场呢？答案是否定的，三角追赶法只适用于三对角矩阵，所以五对角稀疏矩阵得另外找方法。

除了三角追赶法，《数值分析》中的还有Guass消去法，假设我们的模型网格非常多，千万数量级。它和三角追赶法的不同是：消元法随着方程个数的增加，计算量超线性增大，但是TDMA算法计算量和方程个数是线性增加的。所以，归根结底，消元法就是普通的手算解决一个方程组就行，工程计算消元法实在是计算量太大！

虽然精确解无望，那么近似解的迭代法如何？

对于（6）式进行修改：

这完全就可以用迭代的思想取求解，同一个时间下一共有25个Tp，最开始假设一组TE、TW、TN、TS，例如：算出一个T1，1之后紧接着带入到T1，2的公式中，之后类推同理...直到每个控制体的温度迭代前后的值达到误差范围之内为止！

    ​在这一段过程中，迭代前后的未知量的变化量就是“残差”！如果说最后的迭代过程式收敛的，残差应该是越来越小最后趋于0的，如果熟悉Fluent等商用软件，对这个概念应该不陌生。但是对于2D情况来说，因为一共有很多控制体在依次迭代，每个控制体都有自己的残差，对于每一个来说，迭代前后的残差叫做：绝对残差。但是整体来看，就本例来说，25个控制体，25个方程，一共有25个绝对残差。如果将这25个残差写成向量形式，又该如何描述整体的残差呢？有两种表述方法：1.Rmax,n=max(Rabs,n)，即找25个绝对残差中的最大值l；2.Rrms,n将每个绝对残差进行均方根计算，这叫做均方根残差。

可以发现，不管隐格式还是显格式，最后的结果必定是一样的！

2.几种迭代的讨论：

对于线性方程组，最常见的就是Jacobi和Guass-Seidel还有SOR法。这里利用之前《数值传热学》课中的一个小作业为例，先用有限差分的思想说一下这三种方法。之后再讨论一下利用Guass-Seidel在FVM时的应用。

四边的边界值已知，给中间6点一个初始值：假设给的全部为0.

    ​对于拉普拉斯离散方程的求解，可以运用Jacobi迭代或者Gauss-Seidel迭代，还有SOR法。

2.1  Jacobi:

先用假设的值计算6点温度，利用公式：

    ​将每一个点都计算一遍。这时，每个点的温度都得到了一次更新但还不是稳定时候的结果，仍然需要第二次更新，同样利用的（1）式。就这样，每一次迭代更新，都会得到一组新计算出来的值，直到迭代前后的数值之间的误差非常小，满足误差要求为止，所以迭代法就是近似解而非精确解。

这里我设置的误差为（10^-6）,可以看到Jacobi迭代的结果：34次迭代完毕：

2.2  Guass-Seidel迭代

同样上述例子，同样内部点的初始值为0。

第一次迭代，我要计算1点的值，利用公式（1），算完之后，计算2点的值，仍然利用（1）只不过计算2点的公式中要将刚刚算出的1点值立马用起来带入到2点计算里；计算3点，要立马将1，2点刚刚算出的值带入用来计算3点；往后每个点都如此；

    ​第一次迭代结束之后的每个点数值肯定不会是最终的解，那么就得第二次、第三次、.....迭代，直到迭代前后的数值之间的误差非常小，满足误差要求为止，所以迭代法就是近似解而非精确解。

（可以明显发现，Guass-Seidel的计算要明显快于Jacobi！）

2.3  SOR

关于松弛因子取决于具体的问题：当他介于0和1之间-称为亚松驰；介于1和2之间-称为超松驰法。

可以发现，SOR法比高斯-赛德尔迭代还要快，这里我的松弛因子设的是1.29。关于松弛因子的最佳值，也许目前有方法了，但我不知道？我的想法就是一直试，看哪个最佳。

回到FVM中：

    ​想一下，在计算机辅助的情况下，计算的方向是：x轴从左向右，y轴从下往上。在计算每一个点的值的时候，可以参考Jacobi的思路，每一点的计算利用上一次迭代的结果；也可以利用Guass迭代的思路，算完T11，在算T21或者T12的时候，将本次迭代之前的计算结果（T11）值立马带入，因为经过新一次迭代后的值更接近于最终解，所以Guass迭代的思路要更快！