表格式方法便于理解扩展欧几里得算法及其在求乘法倒数时的应用

扩展欧几里得算法

具体算法的原理参见扩展欧几里得算法求乘法逆元，本文仅以表格的形式展现计算过程，浅显易懂。下面通过例子进行说明。

例：求1234和4321的最大公约数，并将其表示为整系数的线性组合。

解： 根据定理内容列出以下表格，其中i为计算次数，r_i 为原数及余数 ，q_i 为商，x_i y_i 为新加的数，表格内数字的来历将在下面说明。

i	ri	qi	xi	yi
-1	4321		1	0
0	1234		0	1
1	619	3	1	-3
2	615	1	-1	4
3	4	1	2	-7
4	3	153	-307	1075
5	1	1	309	-1082
6	0	3

由表格可知，gcd(1234,4321)=1，且整系数线性组合为4321×309+1234×(-1082)=1

以下对表格数字来历进行说明：
i的前两个数固定为 -1 和 0，x_i 以及 y_i 的前两个数分别固定为1、0和0、1，r_i 的前两个数字为已知两数按大小排列，其余各数的计算过程以前三行数字为例：
紫色的619和粉色的3分别是橙色的4321与1234相除的余数和商，i==1行蓝色的1是由(红色的1)-(粉色的0粉色的3)得出来的，即1=1 - 3 * 0，同理i==1行蓝色的-3=(黄色的0)-(粉色的3粉色的1)得出来的，即-3=0 - 3 * 1，下面几行数字同理，以下一行为例，615和1分别为1234除以619的余数和商，-1=0 - 1 * 1，4=1 - 1 * -3，直到算到r_i为0为止（本步不计入），此时的x_i与y_i即为所求系数，即4321×309+1234×(-1082)=1，r_i为最大公约数，即gcd(1234,4321)=1

求乘法逆元

通过上述扩展欧几里得算法，可以得到1234mod4321的乘法逆元为最后一步的y_i，即 -1082，将负数调整为正数即 -1028+4321=3239，故1234*3239≡1(mod 4321)，同理，4321mod1234的乘法逆元为最后一步的x_i，即4321*309≡1(mod 1234)