高等数学 - 参数方程的隐函数和导数 - 学习笔记 (18)

隐函数

如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

其实隐函数的知识并不难理解，我们以前学的因变量y在函数一边的叫做显函数；隐函数就是将y“隐藏”在一个式子里即和 自变量x在一边的函数。它的难点在于如何利用隐函数求导。接下来，我就和大家聊一聊隐函数的求导。

在做题的时候我们经常会听到“对x求导”的说法，这个就是我们往往不好理解的地方，知道如何处理x却不知道如何处理y，下面我就主要围绕这个来展开。举个例子：

这个式子你当然可以将隐函数显化得出结果-⅔但是这样做题有些无法显化的函数就没法算了，所以我今天着重给大家讲一下它的通用解法：首先第一个x的导数是2这个大家都知道，可是y咱们也需要处理，怎么处理？无论函数是否可以显化，x是自变量y是因变量（y是关于x的函数）是一定的吧。之后呢？就是说在y这里对x求导就是对含有x的小函数求导（我这里说小函数是为了和原来的隐函数区分一下的），这回结果不就是y′(即dy/dx)吗？这么一变形，就出现了2+3dy/dx=0导数就是-2/3尽管答案一样但是这种思考方式就会在做题的时候给你带来好处。

那么咱们换一个有点难度的，带平方的该如何计算呢？

求x=-3/5时的导数。

x那边不用说导数就是3，6y的平方怎么办？咱们可以这么想，令y方等于m，那么这个“小函数”就变成了一个复合函数了，变成了m=y^2和y与x关系的复合函数。既然是复合函数，那么在这里的求导，实质上就是对这个复合函数的求导，那么我们就可以计算了：3+6*2y*dy/dx=0，那么dy/dx=-3/12y由于我是随便出的例子，经过计算此时y等于零，导数不存在。但是无论什么题都是这么是思考的。

最后还有一个对数求导法，是用来求幂指函数的。举个例子，

我们给它两边取对数那么左边就会变成lny右边就是lnx^cosx，根据我们高中学的定理，右边还等于cosx*lnx所以，就有lny=cosx*lnx,之后咱们再根据求导的法则来求它。

左边就是还要把lny视作一个整体来看，右边要注意的事导数相乘时的运算。

求导法则

对于一个隐函数已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）； 利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值； 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。