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微积分学习笔记 - 指数函数

最编程 2024-03-15 14:50:13
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反函数的导数法则

如果f在区间I上每个点可微且\frac{df}{dx}在I上从不为0， 则f^-1在区间f(I)的每个点可微。\frac{df^{-1}}{dx}在任一特定点f(a)的值是\frac{df}{dx}在a的值的导数
(\frac{df^{-1}}{dx})_{x = f(a)} = \frac{1}{(\frac{df}{dx})_{x=a}}
或(f^{-1})' = \frac{1}{f'}

定义 数e

e = ln^{-1} 1

自然指数函数

对于每个实数x,e^x = ln^{-1}x

关于e^x和lnx的互为反函数等式

e^{lnx} = x (所有x > 0)
ln(e^x) = x

e^x 的导数和积分

\frac{d}{dx}e^u = e^u \frac{du}{dx}
\int e^u du = e^u + C

超越数和超越函数

一个数如果是带有理数系数的多项式方程的解是代数数, 超越数是超越代数数能力的数。比如e和\pi。
不是代数函数的函数是超越函数，如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数。

例1 对指数函数求导

(1) \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}
(2) \frac{d}{dx}e^{sin(x)} = cos(x)e^{sin(x)}

例2 积分指数函数

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{sin(x)} cos(x) dx = [e^{sin(x)}]_0^{\frac{\pi}{2}} = e - 1

用极限表示数e

数e是极限
\lim_{x \to 0}(1 + x)^\frac{1}{x} = e

用Julia语言计算代码如下:

(1 + eps(1.0)) ^ (1/eps(1.0))
// 2.718281828459045

一般指数函数a^x

对于任何a > 0和任何x
a^x = e^{xlna}

例6 求指数函数值

2^{\sqrt{3}} = e^{\sqrt{3} ln2} = 3.32
2^{\pi} = e^{\pi ln2} = 8.82

幂法则

若u是正的而n是任何实数，则u^n是x的可微函数, 且
\frac{d}{du} u^n=u^{n-1}\frac{du}{dx}

a^u的导数和积分

若a > 0, 且u是x的可微函数，则a^u是x的可微函数,且
\frac{d}{dx}a^u = a^u lna \frac{du}{dx}
\int a^u du = \frac{a^u}{lnu} + C.

例7 对一般指数函数求导

(a) \frac{d}{dx} 3^x = 3^x ln3
(b) \frac{d}{dx}3^{-x} = 3^{-x}(ln3)\frac{d}{dx}(-x) = -3^{-x}ln3

例8 积分一般的指数函数

(a) \int2^xdx = \frac{2^x}{ln2} + C
(b) \int2^{sin(x)} cosx dx
= \int 2^u du = \frac{2^u}{ln2} + C
= \frac{2sin(x)}{ln2} + C

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