1-光学数学基础

1 为什么要学数学？

光学知识体系复杂多样，宏观微观抽象交杂，光是电磁波，而电磁波的本质是波，波的本质是三角函数。因此，想要学好光学必须学好数学基础，三角函数及其背后的物理意义，虽然三角函数是光学中基础的基础，但在理论计算中计算不方便，常使用复变函数中的欧拉公式。因而，三角函数、矢量计算、复变函数基础等三大部分数学基础是入门光学的必备数学知识基础。

2 三角函数

单纯从数学的角度上来看，三角函数 从本质上来说三角函数是角度的函数，即自变量 是一个角度，是一个角度， 也是一个角度，而 是决定振动的大小，也即下图中左边圆的半径。

从物理的角度上来看，三角函数是简谐波，因此，三角函数的各个参数在物理上做如下定义：

• ：振幅，表示振动幅度的最大值；
• ：相位，表示 所处位置的角度大小；
• ：初相位：表示 时的角度大小，即还没开始运动时的初始角度；
• ：角速度，表示旋转一周的速度。

在光学中最常见的波函数是：，该波函数中包含了时间 和空间 两个纬度的变量，在研究光波时，常将一个变量固定而研究另一个变量的波函数。其中： 是波矢，表示光波前进的方向，在数值上。

3 矢量计算

标量和矢量都可以表示数量的大小，但标量仅仅是一个数值，只能表示大小，而矢量（向量）既可以表示大小，同时也可以表示方向。因此，标量只表示一个数值大小，方向是任意的，而矢量不仅表示大小，同时也确定了其所指的方向。矢量在一定程度上更方便计算和分析，比如力的分解与合成、光的分解与合成。掌握矢量的本质有利于学习偏振性、晶体光学等知识。

在数学上，常用一条有方向的线段来表示矢量（向量），线段长度表示矢量的大小，叫做向量的模，线段方向表示矢量的方向。如下图所示，以 为起点、 为终点的有向线段所表示的向量记作：，也可用带箭头的字母表示：。在数学上只研究与起点无关的向量，称为*向量，简称向量。

矢量计算基础过于既简单这里不作详细介绍，学者自行查阅相关的数学书籍。

4 复数基础

4.1 复数概念

• 称为复数，其中 称为实部，是一个实数，与实数无本质区别， 是虚部， 是虚数因子，定义为：；
• 称为复数 的共轭复数；
• 复数的模 ：实部与虚部的平方和的正的平方根的值，;
• 辐角 ：在复平面中实轴与复数向量的夹角，其中在范围内的辐角称为主辐角。

4.2 复数的三种表达形式

• 一般式：
• 指数式：
• 三角函数式：

其中：

• 模：
• 辐角：

由此有如下结论：

• 
• 
• 
• （欧拉公式）

4.3 复数计算

设有两个复数：、，则有如下运算法则：

• 加法：
• 减法：
• 乘法：
• 除法：

乘法与除法使用辐角和模长的计算方法：

• 乘法：辐角相加，模长相乘
• 除法：辐角相减，模长相除

4.3 复平面

如下图所示以实部为实轴，虚部为虚轴的直角坐标称为复平面，下面四幅图分别给出了复数的四则运算法则的几何意义：

• 加法：【平移】四边形法则
• 减法：【平移】三角形法则
• 乘法：
  • 旋转：辐角相加
  • 放大：模长相乘
• 除法：
  • 旋转：辐角相减

  • 缩小：模长相除

    
    
    

    在这里插入图片描述

5 欧拉公式

结合复数的指数表示法： 和指数表示法：，两边同时除以模 后得欧拉公式：。

光是电磁波，电磁波的波函数是余弦函数，因此，常用复数的实部表示光波函数。既然有三角函数可以表示波函数，那为什么还非得要用复数来表示波函数呢？

这得益于复数具有良好的计算性质更优异于三角函数，这在光强、光的合成等光学理论计算中有重要应用。

愿各位读者学有所获，由于编者水平有限，文中难免存在一些缺点和错误，殷切期望读者批评指正。