开发人员必读计算机科学中的线性代数
选自arXiv
作者:Petros Drineas、Michael W. Mahoney
机器之心编译
参与:李泽南、刘晓坤、蒋思源
矩阵计算在计算机科学中占有举足轻重的地位,是每个开发者都需要掌握的数学知识。近日,来自普渡大学的 Petros Drineas 与 UC Berkeley 的 Michael Mahoney 提交了一篇概述论文《Lectures on Randomized Numerical Linear Algebra》可以作为线性代数知识的参考资料,本文将对其中的部分内容(主要为第二章:线性代数)进行简单介绍。
论文链接:https://arxiv.org/pdf/1712.08880.pdf
简介
矩阵在计算机科学、统计学和应用数学中占有独一无二的地位。一个 m×n 矩阵可以对 m 个对象(每个对象由 n 个特征描述)在有限单元网格中的离散微分算子信息进行描述;一个 n×n 正定矩阵可以编码所有 n 对象配对之间的相关性,或者网络中所有 n 节点对之间的边连通性等等。受科学和计算机技术发展的影响,近年来我们见证了矩阵算法理论和实践上令人兴奋的发展。其中最值得注意的是随机化的使用——通常假设由于生成机制的原因,输入数据存在噪声——它可以作为算法或计算资源用于开发和提升基础矩阵问题如矩阵乘法、最小二乘(LS)近似、低阶矩阵近似等算法。
随机数值线性代数(RandNLA)是一个跨学科的研究领域,利用随机化作为计算资源来开发用于大规模线性代数问题的提升算法。从基础的角度来看,RandNLA 源自理论计算机科学(TCS),并与数学有着很深的联系(凸面分析、概率论、度量嵌入理论),也与应用数学相关(科学计算、信号处理、数值线性代数)。从应用层面来看,RandNLA 是机器学习、统计和数据分析的重要新工具。很多精心设计的实现已经在大量问题上超越了高度优化的软件库,如最小二乘回归,同时也具有相当的扩展性、平行计算和分布能力。此外,RandNLA 为现代大规模数据分析提供了良好的算法和统计基础。
这一章将作为对三种基本 RandNLA 算法的独立的入门介绍,分别是随机矩阵乘法(randomized matrix multiplication)、随机最小二乘解算器(randomized least-squares solvers),以及用一个随机算法计算矩阵的低秩近似。因此,这一章和很多应用数学的领域有非常强的联系,特别是它和这一卷的其它许多章节都有很强的联系。最重要的是,其中分别包含了 G. Martinsson 的工作,他利用这些方法开发了改进的低秩矩阵近似解算器 [2];R. Vershynin 的工作,他开发了概率论工具用于分析 RandNLA 算法 [3]; J. Duchi 的工作,他以互补的方式利用随机方法求解更通用的优化问题 [4];以及 M. Maggioni 的工作,他以这些方法作为更复杂的多尺度方法的基础模块 [5]。
本论文将在第二节中概述基本的线性代数知识;在第三节概述离散概率的基本知识;在第四节介绍矩阵乘法的随机算法;在第五节介绍最小二乘回归问题的随机算法;在第六节介绍低秩近似的随机算法。最后我们还介绍了两个其它关于 RandNLA 的导论资源 [6,7],供感兴趣的读者参考。
2 线性代数
在这一节,我们将简要概述基本的线性代数属性和在这一章中将用到的数学符号。我们假定读者具备线性代数的基础(例如,向量的内积和叉积,基本矩阵运算如加法、标量乘法、转置、上/下三角矩阵,矩阵-向量乘法,矩阵乘法,矩阵的迹等)。
2.1 基础
我们将完全聚焦于线性空间中的矩阵和向量。我们使用符号 x ∈ R^n 表示 n 维向量,注意向量都是以粗体小写字母书写。这里假定所有的向量都是列向量,除非特别说明。所有元素为零的向量用 0 表示,所有元素为 1 的向量用 1 表示(类似 Broadcasting);维度会隐含在上下文中或显式地用下标表示。
我们将使用粗体大写字母表示矩阵,例如 A ∈ R^mxn 表示一个 mxn 阶的矩阵;用 A_i* 表示 A 的第 i 行的行向量,用 A_*i 表示 A 的第 i 列的列向量。单位矩阵表示为 I_n,其中 n 是矩阵的行数和列数。最后,我们用 e_i 表示 I_n 的第 i 列,即第 i 个规范基。
逆矩阵:如果存在一个逆矩阵 A^-1 ∈ R^mxn 满足以下条件,那么矩阵 A ∈ R^mxn 被称为非奇异的或可逆的:
如果 A 的所有列向量(或行向量)线性无关,那么 A 是可逆的。换句话说,不存在一个非零向量 x ∈ R^n 使得 Ax=0。可逆矩阵的标准性质有: (A^−1 )^⊤ = (A^⊤)^−1 = A^−⊤(A 逆的转置等于 A 转置的逆)和 (AB)^−1 = B^−1* A^−1(A 左乘 B 的逆等于 B 逆左乘 A 逆。注:微信表达式展示不便,准确表达式请查看原材料)。
正交矩阵:如果矩阵 A ∈ R^n×n 满足 A^⊤=A^−1,则称 A 为正交矩阵。等价地说,对所有 i , j 属于 [1,n],正交矩阵满足:
对于 A 的行向量,上述性质同样满足。即 A 的所有列(或行)向量都是两两正交或互成法向量。
QR 分解:任意的矩阵 A ∈ R^n×n 都可以分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积:A=QR
其中 Q ∈ R^n×n 是正交矩阵,R ∈ R^n×n 是上三角矩阵。QR 分解在求解线性方程组的时候很有用,它的计算复杂度为 O(n^3),并且是数值稳定的。为了用 QR 分解求解线性方程组 Ax=b,我们首先对等式两边同时左乘一个 Q^⊤,即 Q^⊤QRx = Rx = Q^⊤b。然后,我们用反向代入求解 Rx = Q^⊤b。
2.2 范数
范数(Norms)被用于度量矩阵的大小,或者相应地,度量向量的长度。范数是一个函数,它将 R^mxn(或 R^n)映射到 R。形式地说:
定义 1:任何函数满足 || · ||: R^m×n → R 和下列性质,则称为一个范数:
- 非负性:|| A ||≥0;|| A ||=0 当且仅当 A=0;
- 三角不等律:|| A+B ||≤|| A ||+|| B ||;
- 标量乘法律:|| αA ||=|α| || A ||,α∈R。
可以很容易地证明以下两个性质:
- || A ||=|| -A ||
- | || A ||-|| B || | ≤ || A-B ||
第二个性质被称为倒三角型不等式。
2.3 向量范数
若给定 n 维向量 x 和一个整数 p > 1,我们可以定义向量 p-范数为:
最常见的向量 p-范数为:
- 1-范数:
- 欧几里德(2)范数:
- 无穷(最大)范数:
若给定 n 维向量 x、y,我们可以使用 p-范数作为内积的上确界,即 Cauchy-Schwartz 不等式可以写为:
一般来说,该不等式给定了两个向量的欧几里德范数可以作为它们内积的上确界,Holder 不等式表明:
以下向量 p-范数的不等式性质可以轻易的证明:
2.4 归纳矩阵范数
给定一个 m×n 阶矩阵 A,和一个 p > 1 整数,我们定义矩阵的 p-范数为:
一般我们最常用的矩阵 p-范数为:
- 1-范数,取矩阵列加和绝对值的最大值:
- 无穷范数,取矩阵行加和绝对值的最大值:
- 2-范数,
这一系列的范数被称为「归纳(induced)」,因为它们是通过不取决于 A 和 p 的非零向量 x 而实现的。因此,一般存在一个单位范数向量(p-范数中的单位范数)x 令||A||p = ||Ax||p。归纳矩阵 p-范数遵循以下 submultiplicativity 法则:
此外,矩阵 p-范数对于矩阵的初等变换是不变的,即||PAQ||p = ||A||p,其中 P 和 Q 为对应维度的初等变换矩阵。同样,如果我们考虑矩阵分割:
那么子矩阵的范数就和全部矩阵的范数相关:即||B||p <= ||A||p。矩阵 p-范数间的以下关系可以相对简单地证明。若给定一个 m×n 阶矩阵,
此外,||A^T||1 = ||A||∞,||A^T||∞ = ||A||1。其中转置影响了矩阵的无穷范数和 1-范数,而不影响 2-范数,即||A^T||2 = ||A||2。同样,矩阵 2-范数并不会受到矩阵 pre(post)- multiplication 操作的影响,其中它的列(或行)为正交向量:||UAV^T||2 = ||A||2,其中 U 和 V 为对应维度的正交矩阵(U^T*U = I and V^T*V = I)。
2.6 奇异值分解
我们知道方阵可以分解为特征值与特征向量,但非方阵的矩阵并没不能实现特征值分解。因此奇异值分解(SVD)是每个矩阵中最重要的矩阵分解方式,因为不是所有的矩阵都能进行特征分解,但是所有的矩阵都能进行奇异值分解。
定义 6. 给定一个矩阵 A ∈ R^m×n,我们定义全 SVD 为:
其中 U ∈ R^m×m 和 V ∈ R^n×n 分别是包含 A 的左、右奇异向量的正交矩阵,Σ ∈ R^m×n 是对角矩阵,其中 A 的奇异值在主对角线上递减。
我们经常使用 u_i(或 v_j),i=1,..., m(或 j=1,..., n)来表示矩阵 U(或 V)的列。同样,我们将使用σ_i,i = 1,..., min{m, n} 来表示奇异值:
A 的奇异值是非负的,其数目等于 min{m, n}。A 的非零奇异值个数等于 A 的秩。由于正交不变性,我们得到:
其中 P 和 Q 是对应维度上的正交矩阵(P^TP = I 且 Q^TQ = I)。或者说,PAQ 的奇异值与 A 的奇异值相同。
涉及矩阵 A 和 B 的奇异值的以下不等式是非常重要的。首先,如果 A 和 B 都在 R^m×n 上,对于所有 i = 1, ... , min{m, n},
第二,如果 A ∈ R^p×m 和 B ∈ R^m×n,对于所有 i = 1, ... , min{m, n},
其中σ_1(A) = ||A||_2。我们经常对于仅保持非零奇异值和相应的(矩阵 A 的)左、右奇异向量感兴趣。给定矩阵 A ∈ R^m×n 和 rank(A)=ρ,我们可以定义它的稀疏 SVD。
定义 9. 给定矩阵 A ∈ R^m×n,秩为ρ ≤ min{m, n},我们定义稀疏 SVD 为:
其中 U ∈ R^m×ρ和 V ∈ R^n×ρ是包含对应于非零奇异值的左、右奇异向量的两两正交列(即 U^TU = I 且 V^TV = I)的矩阵;Σ ∈ R^ρ×ρ是 A 的非零奇异值在对角线上递减的对角矩阵。
如果 A 是非奇异矩阵,我们可以使用 SVD 计算它的逆:
(如果 A 是非奇异的,那么它是方形和满秩的,在这种情况下,稀疏 SVD 和全 SVD 是一样的)众所周知,SVD 非常重要,任何矩阵的最佳 k 秩近似都可以通过 SVD 来计算。
定理 10. 让 A = UΣV^⊤ ∈ R^m×n 作为 A 的稀疏 SVD;设 k < rank(A) = ρ为整数,让
随后,
换句话说,上述定理指出,如果我们寻找一个矩阵 A 的 k 秩近似,使得「误差」矩阵的 2-范数或 Frobenius 范数最小化(即 A 和它的近似之间的差异最小化),随后我们需要保留 A 的最前 k 个奇异值和相应的左、右奇异向量。
我们会经常使用这些符号:让 U_k ∈ R^m×k(或 V_k ∈ R^n×k)表示矩阵 A 的最前 k 个左(或右)奇异向量的矩阵;让 Σ_k ∈ R^k×k 表示包含 A 的最前 k 个奇异值的对角矩阵。同样的,让 U_k,⊥ ∈ R^m×(ρ−k)(或 V_k,⊥ ∈ R^n×(ρ−k))表示 A 的底部ρ-k 个非零左(或右)奇异向量的矩阵;然后令Σ_k,⊥ ∈ R^(ρ−k)×(ρ−k) 表示包含 A 的底部ρ-k 个奇异值的对角矩阵。然后,
2.9 Moore-Penrose 伪逆
对于非方矩阵而言,其逆矩阵是没有定义的。而一种非常出名的推广型矩阵求逆方法 Moore-Penrose 伪逆在这类问题上取得了一定的进展。形式上来说,若给定 m×n 阶矩阵 A,那么如果矩阵 A† 满足以下属性,它就是矩阵 A 的 Moore-Penrose 伪逆:
给定一个秩为ρ的 m×n 阶矩阵 A,它的稀疏奇异值分解可以表示为:
它的 Moore-Penrose 伪逆 A† 的稀疏奇异值分解可以表示为:
如果 A 为 n×n 阶满秩矩阵,那么 A† 就等于矩阵 A 的逆。如果 A 为 m×n 阶列满秩矩阵,那么 A†A 就等于 n 阶单位矩阵,AA†为矩阵 A 列上的投影矩阵。如果 A 为满行秩矩阵,那么 AA†就为 m 阶单位矩阵,A†A 为矩阵 A 行上的投影矩阵。
关于两个矩阵乘积的伪逆,有如下特别重要的属性:对于 m×p 阶矩阵 Y1 和 p×n 阶矩阵 Y2,且满足 Rank(Y1)=Rank(Y2),即秩相等,[9, Theorem 2.2.3] 表明:
(我们强调秩相等的条件是非常重要的:因为两个矩阵相乘的逆总是等价于矩阵逆的相乘,但这个推断对于一般的 Moore-Penrose 伪逆 [9] 是不满足的)此外,Moore-Penrose 伪逆的基空间和所有实际的矩阵都有联系。给定一个矩阵 A 和 A 的 Moore-Penrose 伪逆 A†,A†的列空间可以定义为:
A†的列空间和零空间(null space)正交,A†的零空间可以定义为:
本文为机器之心编译,转载请联系本公众号获得授权。
上一篇: 线性代数
推荐阅读
-
UNIX 之父肯和丹尼斯(第二部分)--也许是因为宣传的缘故,今天人们的注意力大多集中在 "野生 "黑客身上,更多关注的是他们造成的破坏,而不是他们给技术带来的突破。如果回到 50 年前,情况就完全不同了。那时的黑客更像是为了爱好而自愿加班的模范员工,他们根本不在自己家里工作。 当然,那时的电脑还远远买不起。如果你对计算机技术感兴趣,就必须投身于学术机构或巨型企业。比如通用电气或贝尔实验室。 肯尼斯-莱恩-汤普森(Kenneth Lane Thompson)就是这些老派黑客中的一员,黑客们亲切地称他为 "肯"。他出生于 1943 年的前婴儿潮时代,22 岁从大学毕业,一年后获得硕士学位--这两个学位都来自加州大学伯克利分校的电子工程和计算科学专业。随后,他进入贝尔实验室,开始了 Multics 的研发工作。 不过,他并不总是在工作。他利用大型计算机编写了一款名为 "星际迷航 "的游戏,他和同事丹尼斯-里奇(Dennis Ritchie)在办公室里玩这款游戏。因此,当贝尔实验室在 1969 年退出 Multics 计划时,他和丹尼斯都有点失望。 不过很快,他们就找到了一台闲置的 PDP-7 机器。这台机器在当时属于低端产品,售价只有 7.2 万美元,所以贝尔实验室并没有太在意。幸运的是肯重写了《星际迷航》程序,开发了基于 Multics 的新操作系统,以便在 PDP-7 上运行游戏,甚至还为操作系统开发了一种新的编程语言 "B"。 这位 Unix 之父没有得到应有的尊重。
-
开发人员必读计算机科学中的线性代数
-
计算机科学中的数学线性代数
-
程序员必知的计算机科学类知识--软件工程篇(中)
-
F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面
-
计算机科学与技术的心理测试考试,考试中的心理测评是什么?
-
32个常用的基础算法在计算机科学中的应用