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python 求解隐式函数的偏导数查找隐式函数集的偏导数 - 隐式函数导数

最编程 2024-04-05 20:30:34

...

隐函数求导很简单，直接上例题。

1.对方程两边分别对x求导

例1：已知

，求y‘。

这里首先要知道，y实际上是和x有关的函数，也就是y=f(x)。所以在对x求导的同时也要对y求导。即

$\frac{d(e^y+xy-e)}{dx}$

。实际上就变成了复合函数求导。式子右边求导为0，不用管。接下来就是左边的式子求导。

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_学习_04

把它看成复合函数求导，即先对y求导再对

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_学习_04

求导。前者求导因为没法得到和x相关的式子所以直接写y‘，后者求导还是

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_学习_04

，所以结果为

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_python求解隐函数的偏导_07

。xy看做复合函数求导，那么就是”前导后不导，后不导前导“，结果为

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_python求解隐函数的偏导_08

。最后e为常数求导为0，那么最后的结果就是

$y'\cdot e^y+y+xy'=0$

。

例2：已知

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

,求在点
$(2,\frac{3}{2}\sqrt3)$
的切线方程

高中题，求切线方程的斜率就行。其实不用隐函数求导也行。用切线方程

$\frac{(x\cdot x0)}{a^2}+\frac{(y\cdot y0)}{b^2}=1$

就能求。最后结果为

$y=-\frac{\sqrt3}{4}x+2\sqrt 3$

。但你要要用隐函数求导的方法来做也可以。两边同时对x求导，别忘了式子右边是1，常数求完导是0。所以求导后的结果为

$\frac{x}{8}+\frac{2}{9}y\cdot y'=0$

。我们这里要求的是y‘。所以把点带入得到

,结果为

$y'=-\frac{\sqrt3}{4}$

,斜率有了用点斜式

$y-\frac{3\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{4}(x-2)$

再化简即可得到答案。

例3：已知

$x-y+\frac{1}{2}siny=0$

，求二阶导数y''。

直接求呗。先求一阶导y'。得到结果为

$1-y'+\frac{1}{2}y'\cdot cosy=0$

，化简得到

$y'=\frac{2}{2-cosy}$

。对y‘再求一次导即可，过程如

$y''=\frac{-2\cdot(siny\cdot y')}{(2-cosy)^2}=\frac{2siny\cdot y'}{(2-cosy)^2}$

。由于之前已经得到过y'的值了，这里带入

$y'=\frac{2}{2-cosy}$

即可得到最后结果

$y''=\frac{-2siny}{(2-cosy)^2}\cdot \frac{2}{2-cosy}=\frac{-4siny}{(2-cosy)^3}$

2.两边取对数

主要看式子里有没有幂函数，或者有那种很复杂的分数。如果发现幂函数是复合函数或者比较复杂就可以试试取对数了。

例1：求

$y=x^{sinx}$

的导数

这玩意右边求导不好求，那就先取对数得到

$lny=lnx \ \cdot sinx$

。再对两边的x求导之后就可以得到式子

$\frac{y'}{y}=\frac{1}{x} \ \cdot sinx +lnx \ \cdot cosx$

最后得到

$y'=y \cdot (\frac{1}{x} \ \cdot sinx +lnx \ \cdot cosx)$

，又由于

$y=x^{sinx}$

，所以最后结果为

$y'=x^{sinx} \cdot (\frac{sinx}{x} +lnx \ \cdot cosx)$

.

例2：求

$y=\frac{sinx \ \cdot x^5}{e^x \ \cdot lnx}$

的导数

这玩意右边直接求导不是不能做，毕竟式子右边都是x，但很复杂。那就先取对数看看。得到

$lny=ln\frac{sinx \cdot x^5}{e^x \cdot lnx}$

。右边还是比较难看，我们用对数公式

$\\ ln\frac{a}{b}=lna-lnb \\ lnab=lna+lnb$

化简后得到

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_学习_32

。现在再看

python求解隐函数的偏导求隐函数组的偏导数_学习_33

这个式子就比较好求了。得到

$\frac{y'}{y}=\frac{cosx}{sinx}+\frac{5}{x}-1-\frac{1}{x \cdot lnx}$

，那么结果为

$y'=(\frac{cosx}{sinx}+\frac{5}{x}-1-\frac{1}{x \cdot lnx}) (\frac{sinx \ \cdot x^5}{e^x \ \cdot lnx})$

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