探讨二进制（二）中的四则运算

0. 序

上一篇**【谈谈二进制（一）】**中，我们花了巨量的篇幅，从最基本的计数开始，认识了各种进制的原理，接着通过对我们最熟悉的十进制的分解组合，推演了其他进制和十进制之间的相互转换过程。

本篇将继续深入二进制，来探究一下二进制的四则运算过程，也就是加、减、乘、除，看看二进制和十进制在计算上又有多少差异。

1. 加法

1.1 整数

加法一般是四则运算中首先被提及的，它是计数这一基础行为的延申，从一个一个地累加，延申到一堆一堆地相加，使计数这一行为提升了一个维度。按照上一篇文章的推演逻辑，我们依然从十进制开始，首先探究一下十进制的加法。

我们取两个十进制数：62和185，我们用简单的口算就能算出来他们俩的和是247，但这个运算过程是怎么样的呢？我们仔细想一下刚才在计算时大脑的计算过程，然后来看看小时候初学加法时用到的竖式表达式：

从上式中我们可以看到，这个加法的整个过程其实分为了四步：

1. 个位相加，得到的结果没有进位，依然是个位；
2. 十位相加，6 + 8 = 14，进位了，因为是十位的相加结果，所以进到百位上，因此十位上结果是4，百位上是1；
3. 百位相加，这里百位只有185的1，62的百位是0，所以是0 + 1 = 1；
4. 最后，把上面三步得到的结果再进行相加，数字不存在的空白处都看作是0，最终得到了247这个结果。

总结上面十进制的加法过程，其实就是两个数字从低位开始相加，如果有进位，就将进的位数加到下一位的计算结果上，然后重复这个过程，直到两个数字的所有位数遍历完成。

在上一篇文章中我们提到过，不同进制之间的区别几乎仅仅是进位方式的区别，所以上面这套加法法则在十进制数上成立，那么在二进制上自然也是成立的。我们取两个二进制数字101和1110，把它们相加：

得到了10011这个结果，我们将三个二进制转化成十进制验证一下：1110 = 14，101 = 5，10011 = 19，完全正确。

当我们熟悉了二进制的计算过程后我们会发现，其实二进制的加法计算要比十进制更简单，因为二进制的最低位的计算只有三种：1 + 0 = 1、0 + 0 = 0、1 + 1 = 10，比十进制要少得多，毕竟二进制一共也只由0和1两种数字组成。

1.2 浮点数

上面说的例子是整数的运算，精通十进制计算的我们知道，在十进制的计算中，小数的加法和整数大同小异，依然是从最右边开始相加，往左边进位，直到整个数字的位数遍历相加完毕，譬如：5.875 + 3.75 = 9.625。十进制是如此，二进制也不例外，我们把上式中的前两个数字换成二进制：5.875 = 101.111，3.75 = 11.11，然后把这两个二进制浮点数相加：

注意，带小数的计算，我们需要将小数点对齐。经过计算，101.111 + 11.11得到的结果1001.101对应的十进制数正是9.625。

2 减法

讲完了加法，下面来看减法。众所周知，减法是加法的逆运算，并且减法的运算也依然是从最右边开始，逐渐往左。由于是加法的逆运算，我们需要注意的是，在减法中，没有进位，取而代之的是退位。我们直接来看上面加法部分的最后一个式子101.111 + 11.11 = 1001.101的减法逆运算：

上面的竖式就是1001.101 - 101.111的过程了，式中的每一步我都直接计算了退位。这个式子比较特殊，它除了右边第一位外，一路往左全部都在做退位计算，所以整个竖式看起来有点诡异。但总之，我们得到了11.11这个结果，和上文中的加法吻合。

关于减法还有一点，就是减数＞被减数的情况，我们知道，这种情况的结果为负数，而我们在计算的时候，其实只需要把不存在的位数都用0去替换，该怎么退位怎么退位就行了，这里就不再展开。

3 乘法

3.1 整数

从加减到乘除，我们的计算又提升了一个维度，而乘法实际上也是加法的进阶，所谓乘，其实就是倍数，也就是几个几相加，如4 × 3，实际上就是4个3或者3个4相加。

还是先来看十进制，取两个数：84，57，我们用竖式来看一下他们的运算过程：

嗯，看上去比加减法复杂多了。但仔细观察我们就会发现，每一行数字其实就是两个因数上各个数字遍历相乘的结果，唯一要注意的，就是相乘后所在的位置，我们逐行来看。

首先第一行，4 × 7 = 28，这个没有任何问题，4和7都是个位数，也就是$10^0$位置上的数，因此它们之间相乘，就是两个个位数相乘，结果的最低位在个位上。然后是第二行，这里的56是7 × 8的结果，但实际上，式中的8并不是8，而是80，是十位（$10^1$）上的数字，因此它和个位上的7相乘，得到的应该是560，而我们在式中把0给省略了。或者换一种角度，56这个数字最低位所在的位数，实际上是8的位数和7的位数相乘的结果：$10^0\times10^1=10^1$，因此56就被写到了$10^1$的位置上，如果把个位看作是第0位，那么56所在的十位就是第1位。

下面一行的20和上面56一样。

最后一行，40，经过前面的分析我们知道，它其实是50和80相乘的结果，后面两个0省略了。但为了下面二进制讲解时方便，我这里更愿意使用所在位数来解释，也就是$10^1\times10^1=10^2$，也可以直接指数部分相加1 + 1 = 2，所以40就被写在了从0数起的第2位上。

最后把上面四行所得的数字按照位置相加，不存在的地方用0补充，就得到了最终结果4788。

再来看二进制，实际上二进制的乘法要比十进制省事儿得多，原因和加法一样，因为二进制只有0和1两个数，因此它的基础乘法计算只有三种：0 × 0 = 0，0 × 1 = 0，1 × 1 = 1，连进位都省了，全是一位。

我们取两个二进制整数110(6)和101(5)，来看看它们相乘后的结果：

由于二进制的基础乘法实在太简单，我这里没有像上面十进制一样，遍历每个数字相乘，而是将第一个因数110看作一个整体，将第二个因数101的三个数拆开，分别去乘110，所以我们看第一行结果110，是1 × 110 = 110，由于1在第0位，所以结果也写在第0位。

接着是第二行，0 × 110 = 000。这个0在101的$2^1$所在的位置上，也就是第1位，而看做整体的110的最低位为$2^0$，也就是第0位，因此他们相乘的积也写在第0 + 1 = 0位。

第三行，1 × 110 = 110。1在第2位，所以结果写在第0 + 2 = 2位。

最终把上面三个数相加，就得到了11110，也就是30，正好是5 × 6的结果。

3.2 浮点数

完成了整数的乘法后，我们来看小数带小数的乘法，鉴于二进制实在是太好算了，我们跳过十进制，直接来到二进制的例子。取两个数，1.01（1.25），11.1（3.5），来看他们的竖式计算：

这里我们同样将第二个因数11.1拆开，将第一个因数1.01看做一个整体来计算，得到了最后的结果100.011（4.375）。这个浮点数相乘的式子里，我们同样要注意，并且特别注意位数的问题。

首先第一行，我们看到被我们看做整体的第一个因数1.01的最低位为$2^{-2}$位置上，即-2位，而与之相乘的0.1在-1位上，因此，第一行相乘的结果我们要写在第-1 + -2 = -3位上，所以它整个都在小数点后面。以此类推，第二行和第三行分别把结果最低位写在了-2和-1位上。最后把三个结果相加，不存在的位置用0补充，就得到了最终结果。

整体而言，二进制的乘法要比十进制的乘法简单的多得多，这回我们连九九乘法表都不用背了。

4 除法

除法是乘法的逆运算，但相对于加法的逆运算减法来说，除法就相对要复杂一些了。我们还是先从十进制开始，但这次就不区分整数和小数了，直接从浮点数开始。

取两个十进制数，被除数185.65，除数2.5，我们来计算$185.65\div2.5$的结果：

选的数字有点大，整个计算过程有点长。这里有几个点我们需要注意：

1. 在计算带小数的除法时，我们会习惯先将除数（2.5）变成整数，也就是除数和被除数同时乘$10^n$，这里两个数在除之前都先乘了10：$185.65\times10\div(2.5\times10)$，使2.5变成了25。这样做可以方便计算，原因就是前文乘法中我们强调过很多次的位数问题，因为在除法的过程中也涉及乘法，即被除数=除数×商，如果我们把除数的小数点去掉了，那么除数的最低位变成了第0位，我们在计算时就会方便很多，不用担心位数搞错的问题。

2. 除法在计算时，从最高位开始计算，以被除数为基准数，每一位上的数除以整个除数，若当前的数小于除数，则结果为0，并将当前计算的数减去0后与下一位相结合（作为下一位的高一位）成新的数字，再除以整个除数。如上式中第一步和第二步，结果都是0，然后把两步的结果与下一位结合，变成185，此时可以除以25，25 × 7 = 175，185 - 175 = 10，然后下一步将这个10和被除数的下一位6结合，得到了106。上式的计算过程部分中，所有商与除数相乘的结果都是红色字，新的每一步的被除数都是黑色字。这样一直计算，直到最后剩下的结果为0，我们就得到了最终的商，上式中写在被除数上方的74.26。

上面我文字写的有点绕，但其实只要我们大概回忆一下十进制的除法，通过上面这个式子，就能看明白是怎么回事了。

二进制同理，我们取两个二进制数11.11（3.75），10.1（2.5），来看一下$11.11\div10.1$的结果：

过程和上面十进制一样，最终我们得到了1.1（1.5）这个结果。

5 结尾

其实在原本的计划中，这篇（二）里还打算把二进制的位运算给放进来，这样凑成一个完整的运算篇。但吃了上一篇文章篇幅过长的教训后，觉得还是先不写运运算了，在下一篇专门来讲运运算，以节省篇幅，提升一点阅读体验。