矩阵核心 SVD - 来自奇异值分解的四个基本子空间-1 值域空间

矩阵 的值域为: 由 的值域生成的 的子空间，记为 。即，

因为 是向量 经矩阵 变换后的所有像（image）的集合，所以也可以将 称为 的像空间。

同样， 的值域是 的子空间，记为 。即，

.列空间

矩阵向量乘积 可以看成关于矩阵 的列向量集合的一个线性组合，这是为值域空间提供了另一种解释。

我们这么来看，当允许向量

的分量*变化的话，有

可以看出， 的所有像的集合与 的列的所有线性组合的集合是相同的。

因此， 就是矩阵 的列所张成的空间。这就是为什么 通常也被称为 的列空间的原因。

.行空间

同样， 是 的列所张成的空间。而 的列同时也是 的行，换句话说， 可以看成是矩阵 的行张成的空间。因此， 也被称为 的行空间。

.几个概念的关系

• 矩阵 的值域（range）空间、像（image）空间和列（column）空间是指同一个东西。

• 的列空间等于 的行空间，而 的行空间等于 的列空间。

对于矩阵 ，有

• 由 的列张成的空间（列空间）。

• 由 的行张成的空间（行空间）。

• 。

• 。