指数分布的期望和方差的推导
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2024-04-14 08:40:07
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从前期的文章《泊松分布》中，我们知道泊松分布的分布律是：
P(X(t)=k)=(λt)ke−λtk!
λ是单元时间内事件发生的次数。如果时间间隔t内事件发生的次数为0，则：
P(X>t)=(λt)0e−λt0!=e−λt
反过来，在时间间隔t内发生事件的概率，就是1减去上面的值：
P(X<=t)=1−e−λt
这就变成了时间间隔t在参数λ下的分布函数。根据概率论知识，我们知道，分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分。对上述的分布函数进行求导，得到：
f(t)=λe−λt
这就是 《指数分布》的概率密度函数。也就是说指数分布是可以从泊松分布推导出来的。
对于指数分布的期望和方差，推导如下：
首先，指数分布属于连续型随机分布，因此，其期望E(X)为：
E(X)=∫∞−∞|x|f(x)dx=∫∞0xf(x)dx=∫∞0x⋅λe−λxdx=1λ∫∞0λxe−λxdλx
令 u=λx ，则：
E(X)=1λ∫∞0ue−udu=1λ[(−e−u−ue−u)|(∞,0)]=1λ
对于指数分布的方差D(X)：
D(X)=E(X2)−(E(X))2
其中：
E(X2)=∫∞−∞|x2|f(x)dx=∫∞0x2f(x)dx=∫∞0x2⋅λe−λxdx
E(X2)=1λ2∫∞0λxλxe−λxdλx
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