统计学 03：泊松分布和指数分布
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2024-04-14 08:44:36
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Poisson分布
是一种离散概率分布；泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
RNA-seq的count值服从Poisson分布，生活中还有其他事情按照固定频率发生、某医院平均每小时出生3个婴儿、某公司平均每10分钟接到1个电话、某网站平均每分钟有2次访问等
泊松分布的期望和方差均为$\lambda$
$$
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1, \cdots
$$指数分布
是一种连续性概率分布；描述事件与事件之间间隔时间的分布。
指数分布的期望为$\frac{1}{\lambda}$和方差为$\frac{1}{\lambda^2}$
$$
f(x)=\left{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x} & x>0 \ 0 & x \leq 0\end{array}\right.
$$例题
超市收银台平均每分钟有2 名 顾客结完帐通过。
- 分别以泊松分布和指数分布计算1分钟没有顾客通过收银台的概率.
（1）泊松分布
$$
E(x)=2=\lambda
$$
$$
P(x=0)=\frac{\lambda^{x}}{x !} e^{-\lambda}=\frac{2^{0}}{0 !} e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}
$$（2）指数分布
$$
E(t)=\frac{1}{2}=\frac{1}{\lambda}；\lambda=2
$$
$$
P(t>1)=\int{1}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t} d t=-\left.e^{-2 t}\right|{1} ^{+\infty}=\frac{1}{e^{2}}
$$- 分别以泊松分布和指数分布计算2分钟没有顾客通过收银台的概率.
只有单位时间的时候泊松分布和指数分布的$\lambda$才相等，所以泊松分布和指数分布是描述同一事件的不同角度。
（1）泊松分布
$$
E(x)=4=\lambda
$$
$$
P(x=0)=\frac{\lambda^{x}}{x !} e^{-\lambda}=\frac{4^{0}}{0 !} e^{-4}=\frac{1}{e^{4}}
$$（2）指数分布
$$
E(t)=\frac{1}{2}=\frac{1}{\lambda}；\lambda=2
$$
$$
P(t>2)=\int{2}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t} d t=-\left.e^{-2 t}\right|{2} ^{+\infty}=\frac{1}{e^{4}}
$$Reference
https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83/1442110
https://www.bilibili.com/video/BV1CA411P7bL
https://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html上一篇： 概率论基础 - 14 - 指数分布
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