数据包络分析 - SBM 建模(第一部分)
大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
数据包络分析–SBM Model
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DEA–SBM model
- 扩充知识–radial and non-radial
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SBM model
- 模型解释1
- 模型解释2
- 变型
- 对偶模型
- SBM-efficiency
- SBM projection
- SBM 与CCR
- 作者有话说
DEA–SBM model
扩充知识–radial and non-radial
这里,我们先介绍一个知识,径向与非径向。这两个概念的区别只存在于投入与产出项,看它们是否能按一个比例进行放缩。如果能的话,这个模型便是径向的;反之,则是非径向的。
比如说,在第一章中所介绍的CCR模型,其模型可表示为(用基于输入向的包络型):
可以看到x0是通过与theta进行乘积来实现压缩(theta小于等于0),这说明投入项可以按照一个比例进行乘积,因此CCR模型是径向模型。
CCR是径向模型,相似地,BCC模型也是径向的。
而在第三章学过的Additive model是非径向模型,它的投入与产出并没有按比例进行放缩:
而我们接下去要学习的SBM也是一个非径向(non-radial)模型。
SBM model
先放出SBM模型的公式:
模型解释1
- 我们假设模型中的投入全部是非负,即X≥0。
- 如果投入X出现零时,即X_i0=0,那么就删掉目标函数中的
这一项值。
- 至于出现y≤0时,就用一个很小的数去进行替换
这一项值,以此来作为惩罚项。
(但是其实对于y的处理存在很大的争议,有些学者认为如果非正就用一个很小的数去代替的话,那么该用多小的数,并且不同程度的负值怎么体现等问题就紧接出现)
模型解释2
根据上述对模型变量的处理,还有所有松弛变量都是非负的,接下来对模型的目标函数进行解析: 根据约束条件
,我们可以得到
,从而分子部分
。又分母部分一定是大于等于1的,这样就可以得出这个结论:
。
变型
这一个部分与第一张CCR变型类似。都是将分母部分令为t:
重新设定变量:
这样就可以把一个分式模型变成一个线性模型:
对偶模型
这里对偶模型不再详细展开,直接放模型两种形式的公式:
SBM-efficiency
SBM模型有效,当且仅当目标函数ρ^*=1。其实也就是所有的松弛为零。
SBM projection
SBM的投影与加性模型一致,最重要的就是在等式中保留与λ相关的那一部分,其他的全部移向等式另一边:
那么此时这个新的
是SBM有效的。
SBM 与CCR
因为本章节用的SBM模型是规模报酬不变的,因此与CCR进行比较(而不是BCC)。
我们从SBM模型出发,在其达到最优值时,对其约束条件向CCR模型转换:
此时重新规定松弛变量:
这一步,比起原SBM模型来说,多出了一个限制条件。那么在同是求目标函数最小值的情况下,限制条件越多越难取得更小的值。那么CCR模型的条件更多,SBM的更少,因此:
作者有话说
内心独白:我的排版真的好丑,一定要赶紧去学习latex,丑到受不了。先就这样吧,SBM内容可太多了,有空再来!写谱聚类作业去咯!!!
上一篇: 数据包络分析(DEA)说明
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正负偏差变量 即 d2+、d2- 分别表示决策值中超出和未达到目标值的部分。而 di+、di- 均大于 0 刚性约束和目标约束(柔性目标约束有偏差) 在多目标规划中,>=/<= 在刚性约束中保持不变。当需要将约束条件转换为柔性约束条件时,需要将 >=/<= 更改为 =(因为已经有 d2+、d2- 用来表示正负偏差),并附加上 (+dii-di+) 注意这里是 +di、-di+!之所以是 +di,-di+,是因为需要将目标还原为最接近的原始刚性约束条件 优先级因素和权重因素 对多个目标进行优先排序和优先排序 目标规划的目标函数 是所有偏差变量的加权和。值得注意的是,这个加权和都取最小值。而 di+ 和 dii- 并不一定要出现在每个不同的需求层次中。具体分析需要具体问题具体分析 下面是一个例子: 题目中说设备 B 既要求充分利用,又要求尽可能不加班,那么列出的时间计量表达式即为:min z = P3 (d3- + d3 +) 使用 + 而不是 -d3 + 的原因是:正负偏差不可能同时存在,必须有 di+di=0 (因为判定值不可能同时大于目标值和小于目标值),而前面是 min,所以只要取 + 并让 di+ 和 dii- 都为正值即可。因此,得出以下规则: 最后,给出示例和相应的解法: 问题:某企业生产 A 和 B 两种产品,需要使用 A、B、C 三种设备。下表显示了与工时和设备使用限制有关的产品利润率。问该企业应如何组织生产以实现下列目标? (1) 力争利润目标不低于 1 500 美元; (2) 考虑到市场需求,A、B 两种产品的生产比例应尽量保持在 1:2; (3)设备 A 是贵重设备,严禁超时使用; (4)设备 C 可以适当加班,但要控制;设备 B 要求充分利用,但尽量不加班。 从重要性来看,设备 B 的重要性是设备 C 的三倍。 建立相应的目标规划模型并求解。 解:设企业生产 A、B 两种产品的件数分别为 x1、x2,并建立相应的目标计划模型: 以下为顺序求解法,利用 LINGO 求解: 1 级目标: 模型。 设置。 variable/1..2/:x;! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!所需软约束数量(g=dplus=dminus 数量)及相关参数; s_con(s_con_num);! s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数; 结束集 数据。 g=1500 0 16 15. c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=dminus(1);!第一个目标函数;!对应于 min=z 的第一小部分;! 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); !使用设置完成的数据构建软约束表达式; ! !软约束表达式 @for(variable:@gin(x)); !将变量约束为整数; ! 结束 此时,第一级目标的最优值为 0,第一级偏差为 0: 第二级目标: !求 dminus(1)=0,然后求解第二级目标。 模型。 设置。 变量/1..2/:x;!设置:变量/1..2/:x; ! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!软约束数量及相关参数; s_con(s_con_num(s_con_num));! s_con(s_con_num,variable):c;! 软约束系数; s_con(s_con_num,variable):c;! 结束集 数据。 g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=dminus(2)+dplus(2);!第二个目标函数 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ! 软约束表达式;! dminus(1)=0; !第一个目标结果 @for(variable:@gin(x)); ! 结束 此时,第二个目标的最优值为 0,偏差为 0: 第三目标 !求 dminus(2)=0,然后求解第三个目标。 模型。 设置。 变量/1..2/:x;!设置:变量/1..2/:x; ! s_con_num/1...4/:g,dplus,dminus;!软约束数量及相关参数; s_con(s_con_num(s_con_num));! s_con(s_con_num,variable):c;! 软约束系数; s_con(s_con_num,variable):c;! 结束集 数据。 g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; 结束数据 min=3*dminus(3)+3*dplus(3)+dminus(4);!第三个目标函数。 2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束 @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ! 软约束表达式;! dminus(1)=0; !第一个目标约束条件; ! dminus(2)+dplus(2)=0; !第二个目标约束条件 @for(variable:@gin(x));! 结束 最终结果为 x1=2,x2=4,dplus(1)=100,最优利润为
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