凸优化入门 - 基本概念和詹森不等式-4 凸条件

有了凸函数的定义，那是不是想知道凸函数有些什么特别之处呢？反过来满足什么性质的函数是凸函数呢？

.凸性的一阶条件（First Order Condition for Convexity）

假设函数 可微（即对于所有 ，导数 恒存在），当且仅当 为凸集且对于所有 ，

都成立的时候，可以称函数 是凸函数。

函数 在点 处称为函数 的一阶逼近。

直观地讲，这可以认为是 与其在点 处的切线近似。

凸度的一阶条件说，当且仅当切线整体在函数 的下面时， 才是凸的。

可以通过下面的图来直观地理解什么是凸性的一阶条件: 对于凸函数上的任一点 ，该点处的切平面都将在函数 下方。

.凸性的二阶条件（Second Order Condition for Convexity）

假设函数 是两次可微的（即， 的定义域中的所有点 都有定义 Hessian 矩阵 ）。当且仅当 为凸集且其 Hessian 矩阵为半正定数时， 才是凸的: 即对于任何 ，有

此处，该符号 如果跟矩阵结合使用时，指该矩阵是半正定的，而不是分量不等式。当一维时，这等价于二阶导数 始终非负。

类似于凸性一阶条件的定义，如果 的 Hessian 为正定，则为严格凸，如果 Hessian 为半负定，则为凹，如果 Hessian 为负定，则为严格凹。