浮点乘法和正弦运算的 Fpga 实现
一、FPGA表示浮点数的方法
FPGA表示浮点数的方法主要由两个
1 自己定义的 比如最高位位符号位，中间n位为整数部分，最后m位为小数部分
举个例子
3.14 转换位2进制 11.00100011
我们可以表示为这样 0_00000011_00100011
最高位为符号位 中间八位为整数部分，后八位为小数部分
这种定义的方式只有程序员自己知道 在写程序的时候可以随意的定义
2 IEEE浮点数表示方式
对于单精度(float)的数字来说 主要包括 最高位位符号位，中间8位阶码位，最后23位为尾数
还是拿3.14来举例 转换位2进制 11.00100011…
首先必须先将数据转换为1.x * 2^m次的格式 即 1.100100011 * 2^1格式
8位阶码位的大小位 127+1 127为固定的 1为2的指数
尾数就是小数点后面的所有数据 100100011后面补充0 到23位
所以最终表示为 0_10000000_10010001100000000000000 即 十六进制:4048C000（H）
通过计算机计算 发现4048C000对应的小数为3.136719 该误差是由于在计算3.14转换位2进制的时候只取了小数点后的8位，从而精度有了偏差
为了验证该表示方法的正确性 我们将3.14的二进制多取几位
3.14 = 11.001000111101011100001…
同理转换为科学技术法 3.14 = 11.001000111101011100001 = 1.1001000111101011100001 * 2^1
阶码位127+1 = 128
最终表示结果 0_10000000_10010001111010111000010 = 4048F5C2 （H）
经过计算器验证 4048F5C2 （H）对应的小数结果位3.140000 该表示方式正确
二、FPGA浮点乘法运算
我一般采用的浮点运算方式为自定义方式 即自己定义小数点的位置
比如计算 30 * pi/180
30 对应的二进制 00011110
规定A [23:0] [符号位] [22：15]整数位 [14:0] 小数位
则30表示为 24’b0_00011110_000000000000000
pi/180 = 0.0174444444444444对应的二进制 0.000001000111011
照规则B [16:0] [符号位] 15整数位 [14:0] 小数位
则 pi/180表示位17’b0_0_000001000111011
计算过程 30*pi/180 = 24’b0_00011110_000000000000000 * 16’b0_000001000111011
最终结果位24+17bit 即41bit
最关键的一点就是41bit中有多少是整数部分 多少位是小数部分
小数部分的位数是两个数小数部分位数之和 第一个数的小数部分15位 第二个数的小数部分15位
所以最终结果 小数部分共30位
所以最终的表示 [40：0] 40：符号位 [39:30]整数部分 [29：0]小数部分
计算过程
assign result = $signed(A) * $signed(pi_180) //采用有符号数的乘法
1
得到结果 result = 41’h21750000
三、FPGA的sin运算
在quartus中调用sin的IP核 发现 输入输出数据均为IEEE格式的数据
因此 我们需要将自己定义的数据转换为IEEE浮点型数据
接下来介绍将自己定义的浮点数据转换成IEEE浮点数据
上面计算结果result = 41’h21750000 转换成二进制
100001011101010000000000000000 后面30bit为小数部分
则其实际的含义0_0…0_100001011101010000000000000000
即0.100001011101010000000000000000
转换成科学技术法 1.00001011101010000000000000000 * 2^ (-1)
最高位符号位 0
8位阶码位 127-1
尾数 00001011101010000000000
所以转换成IEEE格式
表示为 0_8’d126_23’b00001011101010000000000000000 = 3F05D4000（H）
FPGA来实现上述格式转换的过程
/******************** 输入为 31符号位 [29:20]整数位 [19:0]小数位 ***********************/
//找到第一个不是0的位数 如果是第30位为1 则偏移的阶码位为9 因为整数部分一共是10位 去掉最高位还余9位
//则最终的8位阶码位为127+9 以此类推
always@(posedge clk)
begin
if (rst_n)
begin
if( y_rad_real[30]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd136,y_rad_real[29:7]};
else if(y_rad_real[29]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd135,y_rad_real[28:6]};
else if(y_rad_real[28]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd134,y_rad_real[27:5]};
else if(y_rad_real[27]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd133,y_rad_real[26:4]};
else if(y_rad_real[26]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd132,y_rad_real[25:3]};
else if(y_rad_real[25]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd131,y_rad_real[24:2]};
else if(y_rad_real[24]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd130,y_rad_real[23:1]};
else if(y_rad_real[23]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd129,y_rad_real[22:0]};
else if(y_rad_real[22]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd128,y_rad_real[21:0],1'b0};
else if(y_rad_real[21]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd127,y_rad_real[20:0],2'b0};
else if(y_rad_real[20]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd126,y_rad_real[19:0],3'b0};
else if(y_rad_real[19]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd125,y_rad_real[18:0],4'b0};
else if(y_rad_real[18]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd124,y_rad_real[17:0],5'b0};
else if(y_rad_real[17]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd123,y_rad_real[16:0],6'b0};
else if(y_rad_real[16]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd122,y_rad_real[15:0],7'b0};
else if(y_rad_real[15]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd121,y_rad_real[14:0],8'b0};
else if(y_rad_real[14]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd120,y_rad_real[13:0],9'b0};
else if(y_rad_real[13]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd119,y_rad_real[12:0],10'b0};
else if(y_rad_real[12]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd118,y_rad_real[11:0],11'b0};
else if(y_rad_real[11]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd117,y_rad_real[10:0],12'b0};
else if(y_rad_real[10]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd116,y_rad_real[9:0],13'b0};
else if(y_rad_real[9]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd115,y_rad_real[8:0],14'b0};
else if(y_rad_real[8]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd114,y_rad_real[7:0],15'b0};
else if(y_rad_real[7]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd113,y_rad_real[6:0],16'b0};
else if(y_rad_real[6]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd112,y_rad_real[5:0],17'b0};
else if(y_rad_real[5]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd111,y_rad_real[4:0],18'b0};
else if(y_rad_real[4]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd110,y_rad_real[3:0],19'b0};
else if(y_rad_real[3]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd109,y_rad_real[2:0],20'b0};
else if(y_rad_real[2]==1'b1)
y_rad_real_float <= {y_rad_real[31],8'd108,y_rad_real[1:0],21'b0};
else
y_rad_real_float <= 32'b0;
end
end
将这个数据输入到sin 的IP核函数的输入口
sin_altfp_sincos_cie sin_U1 (
.clock (clk),
.data (dataIn_float),
.result (dataOut));
输出结果 32’h3effa176 该数据也是IEEE类型的数据 经过计算器转换 可求的该数据代表float 0.499279
计算结果正确
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数的机器码表示：原码、反码、补码、变形补码、移码和浮点数编码-数学定义：例：+111的原码为0111，-101的原码为1101 (2) 纯小数的原码表示 纯小数的原码首位同样为符号位，后面的数值则表示小数的尾数，纯小数的整数位为默认为0无需表示。 例：+0.111的原码为0111，-0.101的原码为1101 可以看到，+111和+0.111的原码同为0111，这是因为约定的小数点位置不同，整数的原码的小数点约定在末尾，纯小数的原码的小数点约定在数值的最前面，这样通过约定小数点的位置来表示数的方法就称为定点数表示法，约定小数点位置实际上就是约定编码中每一位的权重。 二、反码 正数的反码与其原码相同。 负数的反码是其对应原码的符号位不变,数值位按位取反。 数学定义：例： 真值 +111 -101 +0.111 -0.101 原码 0111 1101 0111 1101 反码 0111 1010 0111 1010 三、补码 原码虽然转换很简单，但是在做减法时操作很复杂（减不够还要借位），因此计算机在做加负数操作时会先将负数的原码转换为补码再做加法。 先举个栗子，假设时钟现在是9点钟，我把时针往回拨3个小时是6点钟，或者顺时针往后拨9个小时还是6点钟，也就是说9-3的结果等同于9+9（mod 12），对于模数12，-3的补码为+9，这就引申出了一种将减法转换为加法的思想，把减去一个正数视为加上一个负数（例如9+(-3)），再将负数转换为对应的补码，最后就可以和补码做加法了，若结果超出了模数则丢弃一个模数即可。 如图所示：9减去灰色的部分（-3）就等同于加上蓝色的部分，即-3的补码即为蓝色部分的长度9（mod 12）。即补码=模数+真值（超出模数则舍弃一个模数） (1) 整数的补码表示 对于一个n位的二进制真值x，则取模数为2^(n+1)，若x为正数则补码和原码相同（加上一个模数又需舍弃一个模数 故相同），若为负数则补码为模数加上x。相对于原码，补码这里的首位就不仅代表原数真值的符号了，也是补码自己的一个数值位。 取模数为2^(n+1)是因为在需要舍弃模数时只需要舍弃运算结果（二进制数）的最高位即可，这在计算机中很容易实现 数学定义：例：三位二进制数的模数2^4就是10000，故+111的补码为0111（即10000 + 111 = 0111 （舍弃模数位）），-101的补码为1011（即10000 - 101 = 1011） 补码运算示例：那么+111 - 101 = +111 + (-101) = 0111 + 1011 = 10010，运算结果只保留后四位（即舍弃模数位），故计算结果为0010。这样就通过加法实现了减法运算。 补码可表示数据范围：由数学定义可知，n位二进制补码可表示的数据范围为 -2n-1~2n-1-1。以8位的byte类型数为例，可表示的数据范围为 -27~27-1，即-128至+127，最小负数-128（补码：1000 0000），最大负数-1（补码：1111 1111），0（补码：0000 0000），最小正数1（补码：0000 0001），最大正数127（补码：0111 1111）。 由补码求真值：正数的补码即为原码即为真值，负数的真值由计算规则可知 负数真值= - (模数 - 补码)，以补码1111 1111为例，其真值 = - (1 0000 0000 - 1111 1111) = - 0000 0001 = -1 (2) 纯小数的补码表示 对于一个纯小数x，则取模数为2^1，正数的补码和原码相同，负数的补码为模数2加上x。同样补码的首位不仅代表原数真值的符号，也是补码的数值位。 数学定义：例：纯小数的模数2就是10，故+0.111的补码为0111，-0.101的补码为1011（小数点约定在符号位后） 计算机中求补码的规则 可以注意到求负数的补码时还是要做减法，这在计算机中就很不方便了，但是通过其数学定义可以看到无论是整数还是纯小数，负数的补码都等于反码的末尾加1，而这又等同于原码数值位从右向左遇到第一个1后，这个1左边的数值位都按位取反，故实际计算机中求补码的规则如下：正数的补码等于原码负数的补码等于原码的数值位从右向左的第一个1左边的所有数值位按位取反（例：byte类型值-6的原码为1000 0110，则其补码为1111 1010） 四、变形补码 两个补码在运算时可能会溢出从而产生错误的结果，比如0111+0101 = 1100，两个正数相加反而得到了一个负数，那么在计算机中要如何判断运算结果是否溢出了呢，这就引申出了变形补码。从直观上看，相对于补码来说变形补码就是用两位来表示符号位，00表示正数，11表示负数。运算结果符号位为01表示正溢出，10表示负溢出。
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