2022 张宇 考试基础 30 讲 第 11 讲 多元函数微分学
文章目录
- 第十一讲 多元函数微分学
- 基本概念
- 平面点集
- 极限
- 偏导
- 可微
- 偏导数的连续性
- 多元函数微分法则
- 链式求导规则
- 隐函数存在定理
- 多元函数的极值与最值
- 条件极值与拉格朗日乘法
- 课后例题精选
第十一讲 多元函数微分学
一共大概考个18分左右
基本概念
平面点集
内点 外点 边界点
聚点
但是对于开集来说,开集没有边界点,因此此时在它边界上的点不是它的边界点,但是是它的聚点。
极限
第一种定义例如:
第二种定义是,如果在去心邻域内有点无定义,则极限不存在。
我们是用的第一种定义,去除无定义的区间。
偏导
P到P0,最简单的方式就是那条斜着的线
可微
判断是否可微的方法:(注! 容易遗忘!)
以例11.2为例:
全微分
偏导数的连续性
上面该题的C选项:
在这里,这个极限的前半部分可以求出来是存在等于0
但是后半部分不存在 为什么呢
要证明它不存在只需要找出一个路径(y=x)
然后计算会发现不存在
多元函数微分法则
链式求导规则
注!
注意求导后的新函数和原来的函数具有一样的复合结构!
所以f1’也具有这样的结构!
如果具有二阶连续偏导数 则
隐函数存在定理
如果隐函数存在定理成立的话,那么就可以由F(x,y)=0确定y=y(x)
)
所以由红框式子=0(右边等于0是因为 让F(X,Y)的右边0求导,然后0求导还是0)可以推出: 如果隐函数存在定理成立 此时说明Fx‘/Fy’中 Fy‘不等于零
全导数
如果最终z和t比如只有一层关系 那么代表
更复杂的隐函数求导情况:
公式法在这里的优点就在于所有变量不用纠缠,不需要用链式求导法则。
随后套公式即可
以上都是通过函数来求偏导,求dz,接下来可以通过dz,把函数反求回来。
多元函数的极值与最值
那么接下来需要走定义证明
如果z=fxy在(0,0)取得极值,那么就要求在(0,0)的邻域内它是极大值或者极小值
那么接下来通过走定义的方式实现
对于在0,0的点,我们可以通过y=x和y=-x去趋向,那么此时在这种情况下,它的两个趋向的情况 y=x推出小于零
而在y=-x的情况下推出大于零
而y=x的情况下推出f(0,0)=0
说明f(0,0)不满足在邻域内是极值的情况,因而它不是极值。
答案的写法:
条件极值与拉格朗日乘法
条件下的极值问题
如果有多个约束函数条件,则需要这样:
然后:
注意在这里!
那慕达和μ并不是常数也不是系数,而是一个变量,之后需要对其求导的。
在这里 看历届情况来说 解方程组可能容易出错
前面还有4分,后面是6分:
如果没时间解出正确的答案,可以瞎写一个答案,因为这样会被归结为计算错误,不是扣6分而是扣4分:
课后例题精选
注意 此时在求区域内的最值时,人家不需要判断你这里是否是极值,只需要判断是否是最值就可以了,因此不需要求二阶导然后求▲=B²-AC
然后接下来再代入可疑点求最值即可