采样定理

最编程 2024-04-24 18:29:03

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采样定理

在数字信号处理领域，采样定理是连续时间信号（模拟信号）与离散时间信号（数字信号）之间的基本桥梁。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

定理： A/D转换器中，奈奎斯特定理规定采样速率必须至少是模拟信号带宽最大值的两倍，以便完全恢复信号。
适用条件： 定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。
混叠：如果不能满足采样定理，采样后信号的频率就会重叠，即采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号，这种频率的重叠导致的失真称为混叠。

采样（信号离散化）：采样器由电子开关组成，开关每隔Ts秒短暂闭合一次。连通连续信号，实现一次采样。

采样过程

证明采样定理

理想采样过程：
理想采样过程可看做对冲激脉冲载波的调幅过程，用M(t)表示冲击载波， $M(t) = \sum_{n = -\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$
其傅里叶展开式：
$M(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(t-nT) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}a_me^{jm\Omega_st}$
那么理想采样过程：
$\widehat{x}_a(t) = x_a(t)M(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x_a(t)\delta(t-nT) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x_a(nT)\delta(t-nT)$

2.原始信号频谱
$X_a(j\Omega) = F[x_a(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}x_a(t)e^{-j\Omega t}dt$
满足条件：
$X_a(j\Omega) = \left \{ \begin{matrix} X_a(j\Omega) & |\Omega|<\frac{\Omega_s}{2} \\ 0 &|\Omega |>\frac{\Omega_s}{2} \end{matrix}\right.$

现在来计算采样信号的频谱
$\widehat{X}_a(j\Omega) = F[\widehat{x}_a(t)] =F[x(t)M(t)] \\=\frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty }x_a(t)e^{-j(\Omega-m\Omega_s)t}dt$
与原始信号的频谱对比，发现理想采样信号的频谱是原始信号频谱的周期延拓，周期为采样频率 $\Omega_s$ ,并且采样信号的频谱幅值是原始信号的 $\frac{1}{T}$ 倍。
所以除去一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。
图像理解：
图a:输入信号 $x_a(t)$ 在频域上的图像：

图a

图b:采样信号在频域上的图像：

图b

图c:成功采样后得到的信号在频域上的图像：

图c

图d:失败的采样，由此无法恢复出原信号：

图d

从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发生重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该大于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最高频率。采样定理由此证毕。
从图中可以看出，要想从理想采样频谱恢复原始信号的频谱，只需要将大于 $\frac{\Omega_s}{2}$ 和小于 $-\frac{\Omega_s}{2}$ 的频率部分用滤波器去掉，幅度再乘以T。但是，如果信号的最高频率超过采样频率的一半 $\frac{\Omega_s}{2}$ ，在理想采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠，出现频谱的混淆现象。当出现频谱混淆后，一般不可能无失真的滤出基带频谱，用基带滤波后恢复出来的信号就要失真。
因此，要想尽可能减少采样恢复后的信号失真，就要选择满足采样定理的采样频率。