WebGL 前端高级数学（II）--向量

前言

本文将讲解网页3D开发中,大量使用的向量方面的知识内容,比如点乘叉乘的意义和作用。 将主要会围绕着什么是向量,作用,运算规则,几何意义和数学推导等几个方面展开。

什么是向量

向量是既有大小，又有方向的量，在物理和工程学中又称为矢量。

与之对应的是标量，标量只有大小，没有方向。如身高、体重、距离等。

日常生活中常见的向量有位移，速度，加速度、光线方向等等。

向量在坐标系中通常用一根带箭头的线段来表示。

向量表示

向量一般用一个上方带一个箭头符号的字母表示， 如 $\vec {a}$代表一个名称为 a 的向量。在 2D 笛卡尔坐标系中，假设某向量起点为 O(0, 0)，终点为 P(X, Y)，那么通常使用 $\overrightarrow {op}$来表示这个 2 维向量，并且这个向量也可以用坐标的形式来表示： OP=(x−0,y−0)=(x,y)。

那么如果一个(x,y,z),它既可以表示向量,又可以表示一个坐标,那么我们该如何区分它呢?

这是一个非常重要的问题,通常使用齐次坐标系来解决这种混乱。齐次坐标系使用 N + 1 维向量来表示 N 维点坐标和 N 维向量。假设在 3 维坐标系中，有一个点(X, Y, Z)，那么在齐次坐标系中会使用 4 维向量来表示它 (X, Y, Z, W)。注意： W > 0。如果是向量的话，齐次坐标将向量表示为(X, Y, Z, 0)。

请谨记：W 为 0 时代表向量。W 不为 0 代表点。

• 齐次坐标系的引入除了解决这种概念混乱，还有一个重要的作用，透视除法

比较两个标量是否相等，只要比较他们大小是否相同即可。但是两个向量相等需要要满足以下两个条件：

• 大小相等
• 方向相同

向量的运算

假设有如下两个向量：

$\vec{a} = (x1,y1) , \vec{b} = (x2,y2)$

向量加减

• 维度相同的两个向量才可以相加或者相减，得到的新向量维度和原向量相同，新向量各个分量等于原向量各个分量之和或之差。
• 向量不能和标量相加。
• 向量减法不满足交换律。
• 向量加法满足交换律。

$\vec{a}+\vec{b} = (x1+x2,y1+y2)$

$\vec{a}-\vec{b} = (x1-x2,y1-y2)$

向量相加在坐标系中表示如下：

向量相减在坐标系中表示如下：

可见向量a-b和b-a的结果大小相同，方向相反，所以不满足交换律。

零向量

零向量是唯一一个大小为 0 的向量，对于其他任意大小不为 0 的向量，它们都存在无数个方向不同的向量，这些向量构成一个圆，零向量我们用的比较少。

负向量

负向量其实是原向量的反方向向量，大小不变，方向相反。求一个向量的负向量，只需将原向量的各个分量变成它们的相反数即可，并且负向量和原向量维度相同。

$-\vec{b} = (-x,-y,-z)$

负向量可以理解为原向量与 -1 的乘法运算。

向量大小

向量的大小，也就是向量的长度（也叫向量的模），通常用  $|\vec{a}|$ 来表示，向量的大小等于向量各个分量平方之和的平方根。

$|\vec a| =\sqrt[2]{x^2+y^2}$

向量与标量乘除

向量不能和标量相加减，但是向量可以和标量相乘除，向量和标量相乘或者相除返回一个新向量，新向量的各个分量等于原向量的各个分量和标量的乘积或者商。

$\vec a *2 =(x*2,y*2)$

$\vec a ÷ 2 =(x÷2,y÷2)$

向量与标量相乘的几何解释是：向量乘以标量 n 的意义是以因子|n|缩放向量的长度，例如：为了使向量的长度加倍，应使向量乘以 n 。如果 n < 0，则向量的方向与原向量相反。

单位向量

单位向量是长度为 1 的向量，对于大部分向量，我们只关心向量的方向，而不在意向量的长度，这种情况下就适合用单位向量来表示。比如光线入射方向、反射方向等向量，单位向量通常也被称为标准向量。

对于任意一个不为 0 的向量，我们都能将它转变成同方向的单位向量，这个转变过程我们称之为归一化向量或者标准化向量。

归一化向量只需要将原向量除以原向量的长度（模）即可，一定要注意，原向量不能是零向量。

归一化向量的过程：

$(x ÷|\vec a|,y ÷ |\vec a|)$

点乘

标量和向量可以相乘，向量和向量也可以相乘，向量之间乘法包含两种点乘和叉乘。

向量点乘就是将两个向量的各个分量的乘积相加，返回一个标量。

点乘的计算方式如下：

$\vec a ⋅ \vec b = x0 * x1+y0 *y1$

几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影

$\vec a ⋅ \vec b = |\vec a| * |\vec b| *cos(θ)$

我们经常会用点乘来计算两个向量之间的夹角大小，比如在光照模型中，我们在计算漫反射分量时，就使用了点乘公式，求出入射光和法向量之间夹角的大小，通常只求夹角的话，一般先将两个向量归一化，这样就不用再去计算向量模了，直接取点乘结果即可。

或者判断物体表面是否被光源照射，就是通过法向量和光源入射光线的点积来判断，为正表示光源在表面正面，能被照射到，为负表示光源在表面背面，不能被照到。

又比如在游戏中判断怪物在自己前面还是后面，也会用点积来判断，点积结果为正，表示怪物在自己前面。点积结果为负，表示怪物在自己后面。

推导过程

1. 首先定义向量c = a -b
2. 根据根据三角形余弦定理有：

$c^2 = a^2+b^2-2|a| |b|\ cos(θ)$

3. 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

$(a-b)⋅(a-b) = a^2-2a⋅b+b^2 =a^2+b^2-2|a||b|\ cos(θ)$

4. 然后等式进行化简得到：

$\vec a ⋅ \vec b = |\vec a| * |\vec b| *cos(θ)$

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