Python scipy.optimize.brentq 示例说明

使用 Brent 方法在括号区间中找到函数的根。

使用经典的 Brent 方法在符号变化区间 [a , b] 上找到函数 f 的零点。一般认为这里是最好的寻根例程。它是使用反二次外推法的割线法的安全版本。 Brent 的方法结合了根括号法、区间二等分法和逆二次插值法。它有时被称为 van Wijngaarden-Dekker-Brent 方法。 Brent (1973) 声称在 [a,b] 内可计算的函数保证收敛。

[Brent1973] 提供了算法的经典说明。另一种说明可以在最近版本的数字食谱中找到，包括 [PressEtal1992] 。第三个说明位于 http://mathworld.wolfram.com/BrentsMethod.html 。阅读我们的代码应该很容易理解算法。我们的代码与标准演示有些不同：我们为外推步骤选择了不同的公式。

参数：

f： 函数

Python 函数返回一个数字。函数\(f\)必须是连续的，并且\(f(a)\)和\(f(b)\)必须有相反的符号。

a： 标量

包围区间的一端 \([a, b]\) 。

b： 标量

包围区间的另一端 \([a, b]\) 。

xtol： 编号，可选

计算的根 x0 将满足 np.allclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol) ，其中 x 是确切的根。参数必须为非负数。对于好的函数，布伦特的方法通常会满足上述条件 xtol/2 和 rtol/2 。 [Brent1973]

rtol： 编号，可选

计算的根 x0 将满足 np.allclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol) ，其中 x 是确切的根。该参数不能小于其默认值 4*np.finfo(float).eps 。对于好的函数，布伦特的方法通常会满足上述条件 xtol/2 和 rtol/2 。 [Brent1973]

maxiter： int 可选

如果在 maxiter 迭代中未实现收敛，则会引发错误。必须 >= 0。

args： 元组，可选

包含函数的额外参数f.f被称为apply(f, (x)+args).

full_output： 布尔型，可选

如果full_output为 False，则返回根。如果full_output为真，返回值为(x, r)，其中x是根，并且r是一个RootResults对象。

disp： 布尔型，可选

如果为真，如果算法没有收敛，则提高 RuntimeError。否则，收敛状态记录在任何 RootResults 返回对象中。

返回：

x0： 浮点数

a 和 b 之间的 f 为零。

r： RootResults (如果 full_output = True 则存在)

包含有关收敛信息的对象。特别是，如果例程收敛，r.converged 为 True。

注意：

f 必须是连续的。 f(a) 和 f(b) 必须有相反的符号。

相关函数分为几类：

多元局部优化器：

fmin , fmin_powell , fmin_cg , fmin_bfgs , fmin_ncg

非线性最小二乘最小化器：

scipy.optimize.leastsq

受约束的多元优化器：

fmin_l_bfgs_b , fmin_tnc , fmin_cobyla

全局优化器：

basinhopping , brute , differential_evolution

局部标量最小化器：

fminbound , brent , golden , bracket

N-D root-finding：

scipy.optimize.fsolve

一维root-finding：

brenth , ridder , bisect , newton

标量定点查找器：

scipy.optimize.fixed_point

参考：

布伦特1973 (1、2、3)：

Brent, R. P.，无导数最小化算法。新泽西州恩格尔伍德悬崖：Prentice-Hall，1973 年。 3-4。

scipy.optimize.brentq：

新闻，W. H.；弗兰纳里，B. P.； Teukolsky, S. A.；和 Vetterling，W. T. FORTRAN 中的数值食谱：科学计算的艺术，第 2 版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第 352-355 页，1992 年。第 9.3 节：“Van Wijngaarden-Dekker-Brent 方法”。

例子：

>>> def f(x):
...     return (x**2 - 1)

>>> from scipy import optimize

>>> root = optimize.brentq(f, -2, 0)
>>> root
-1.0

>>> root = optimize.brentq(f, 0, 2)
>>> root
1.0