简明教程》第 3 章偏振和浆果相

最编程 2024-05-03 21:07:13

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3.1 The Rice-Mele Model
3.2 Wannier States in the Rice-Mele Model
3.2.1 Wannier态的定义性质
3.2.2 Wannier态是Bloch本征态的空间反演傅立叶变换
3.2.3 万尼尔中心等同于贝里相位
3.2.4 使用投影位置算符的Wannier态
在N趋于无穷的热力学极限下，投影位置算符X^P的本征态形成Wannier态。
3.3 空间反演对称性和极化
3.3.1 由于反演对称性的威尔逊圈的量子化
习题
此章有许多不懂

TOC
能带绝缘体的体极化bulk polarization是一个棘手的概念。中性分子的极化很容易用组成系统的正负电荷中心的差异来定义。当我们试图将这个简单的概念应用到能带绝缘体的周期性体bulk上时(为简单起见，假设正原子核是固定的和局域的)，我们会遇到复杂的问题。负电荷的中心应根据完全占据的价带中的电荷密度来计算。然而，价带中的所有能量本征态在bulk中都是离域的，因此在这样一个状态下每个电子的电荷中心是不明确的。然而，绝缘体是可极化的，并通过电荷的重新排列来响应外部电场，这对应于bulk中的(微小)电流。因此，应该有一种方法来定义体极化。
在本章中，我们将证明对能带绝缘体，体极化如何能利用所谓的现代极化理论[23，27，28]来定义。电子对极化的贡献是多体电子态的特性，多体电子态是【完全占据价带的能量本征态的】斯莱特行列式。中心思想是使用不同的正交基来重写相同的斯莱特行列式，该基由局域态组成，即所谓的Wannier态。然后，可以很容易地评估处于Wannier态的每个电子对电荷中心的贡献，然后将其相加。
我们讨论最简单有趣的情况，即一维双能带绝缘体，其具有一个空能带和一个满带的情况，多能带的情况留待后面讨论。结果表明，Wannier态的电荷中心可以确定为布里渊区上满带的Berry相，也称为Zak相[38]。
有关电子波函数中Berry相的更完整和非常教学法的介绍，我们请读者参考Resta的一组课堂讲稿[26]。

3.1 The Rice-Mele Model

我们在本章中使用的玩具模型是Rice-Mele模型，它是从第1章的SSH模型中通过添加额外的交错格点势(onsite potential)获得的。N个晶胞的链上Rice-Mele模型的哈密顿量为

其中交错格点势 $u$ ，晶胞内部跳跃幅度v和晶胞间跳跃幅度w都被假定为实数。N=4个格点的链的Rice-Mele模型的哈密顿量矩阵为

1.（3.1）的解释：在SSH模型中：这还不是体哈密顿量：

在此哈密顿量上加上交错的格点势u就得到（3.1），A原子上的格点势为u，B原子上的格点势为-u，这就是“交错”的势（这就是一个玩具模型，取这样的交错势没有为什么，是构造出来的），（3.1）中第三项的形式之所以能代表让一个电子位于格点的能量是因为：见SSH模型、sunkai紧束缚模型、固体理论课一维链中哈密顿量的来源、跳跃项.md

2.(3.2)证明：完全类似为知SSH模型中这种哈密顿量矩阵形式的证明过程，没时间，证明省略。