自动绘图:用自动平面(几何)绘图解决《美国数学月刊》中的问题
本文探讨的新功能即将在Wolfram语言第12版中发布。版本12发布时,将提供可复制的输入表达式和可下载的笔记本。
Wolfram语言第12版引入了GeometricScene,RandomInstance和FindGeometricConjectures函数,用于表征、绘制和推导平面几何问题。特别地,抽象场景描述可以自动提供坐标值以产生满足场景条件的图。让我们将这个功能在《美国数学月刊》2019年2月刊和3月刊的几篇有关几何的文章和问题中尝试一下。
牛顿方程的几何求解
首先我们来看一下出现在2019年2月刊Mowaffaq Hajja和JonathanSondow发表的文章:“Newton Quadrilaterals,AssociatedCubic Equations,andtheir Rational Solutions”(牛顿四边形、相关三次方程及其有理解)。
牛顿在他的1720代数教科书《Universal Arithmetick》中提出了以下问题:给出一个边长为a,b,c,d的四边形,并且四边形各顶点位于直径为d的圆上,用a,b,c表示d。他的解就是牛顿方程:
我们来求解牛顿方程,a,b,c为下列随机值:
我们可以直接使用Solve求解d:
我们还可以使用RandomInstance和GeometricScene使用原始几何结构求解 d。首先我们绘制示意图,只使用 a, b和 c的值(符号 d出现,但最初没有赋值;GeometricScene的第一个参数包含符号点列表,符号量列表可选,如果需要,可以各自通过规则赋值给定固定值):
现在我们提取 d的值,并看到它等于我们直接求得的解:
现在的作者证明了牛顿原始陈述的逆命题:给定满足牛顿方程的正数a,b,c,d,一定存在一个边长为a,b,c,d的四边形内接于直径为 d的圆上。
我们找到了这样的a,b,c,d值。
的确,我们可以画出图形:
描述几何问题并推测其结论
下面我们来看一下2019年2月刊 Problems and Solutions 专栏中的问题12092及解决方案,提出者为MichaelDiao和AndrewWu。
p是
的平面上一点,满足
。令q和r分别在
和
外接圆上, 且分别是过p的直径的另一端点。令x为直线
和
的交点。证明
垂直于
。
绘出示意图:
使用FindGeometricConjectures查找有关此特定情景的事实,包括我们问题的结论:
寻找支持几何不等式的证据
最后,我们来看一下2019年2月刊 Problems and Solutions 专栏中的问题12098,由LeonardGiugiuc和KadirAltintas提出。
假设三角形的半周长为s,内切圆半径为r,其形心位于内切圆周上。证明
,并确定等号成立的条件。
生成三个单独的实例:
验证每个实例中的不等式是否成立:
验证不等式一般适用于边长
的三角形,使用半周长公式
,内切圆公式
,和从内切圆心到形心的距离公式
:
由于
在取遍所有边长 a, b 和 c 并且满足给定约束条件下的最小值为
(边长为1,
和
时成立),因此不等式
通常成立。
找到等式成立的三个实例:
这些三角形看起来都非常相似。为了确认我们的猜测,我们将每个三角形的边长定为
,然后计算
和
:
实际上,所有三角形似乎都是2-5-5等腰三角形。为了证明这个结论的一般性,我们找到满足所述属性、使得三角形
的坐标为
,
和
的的所有可能的x和y值:
作出这些三角形的图形:
验证满足等式关系的三角形都是2-5-5等腰三角形,证明论点的一般性:
到此,我们已经证明了不等式在一般情况下成立,等号对于某一类相似三角形成立。
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包婷婷 (201550484)作业一 统计软件简介与数据操作-SPSS(Statistical Product and Service Solutions),"统计产品与服务解决方案"软件。最初软件全称为"(SolutionsStatistical Package for the Social Sciences),但是随着SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加,SPSS公司已于2000年正式将英文全称更改为"统计产品与服务解决方案",标志着SPSS的战略方向正在做出重大调整。为IBM公司推出的一系列用于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析和决策支持任务的软件产品及相关服务的总称SPSS,有Windows和Mac OS X等版本。 1984年SPSS总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+,开创了SPSS微机系列产品的开发方向,极大地扩充了它的应用范围,并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域。世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价。 R统计软件介绍 R是一套完整的数据处理、计算和制图软件系统。其功能包括:数据存储和处理系统;数组运算工具(其向量、矩阵运算方面功能尤其强大);完整连贯的统计分析工具;优秀的统计制图功能;简便而强大的编程语言:可操纵数据的输入和输出,可实现分支、循环,用户可自定义功能。 与其说R是一种统计软件,还不如说R是一种数学计算的环境,因为R并不是仅仅提供若干统计程序、使用者只需指定数据库和若干参数便可进行一个统计分析。R的思想是:它可以提供一些集成的统计工具,但更大量的是它提供各种数学计算、统计计算的函数,从而使使用者能灵活机动的进行数据分析,甚至创造出符合需要的新的统计计算方法。 该语言的语法表面上类似 C,但在语义上是函数设计语言(functional programming language)的变种并且和Lisp 以及 APL有很强的兼容性。特别的是,它允许在"语言上计算"(computing on the language)。这使得它可以把表达式作为函数的输入参数,而这种做法对统计模拟和绘图非常有用。 R是一个免费的*软件,它有UNIX、LINUX、MacOS和WINDOWS版本,都是可以免费下载和使用的。在R主页那儿可以下载到R的安装程序、各种外挂程序和文档。在R的安装程序中只包含了8个基础模块,其他外在模块可以通过CRAN获得。 二、R语言 R是用于统计分析、绘图的语言和操作环境。R是属于GNU系统的一个*、免费、源代码开放的软件,它是一个用于统计计算和统计制图的优秀工具。 R作为一种统计分析软件,是集统计分析与图形显示于一体的。它可以运行于UNIX,Windows和Macintosh的操作系统上,而且嵌入了一个非常方便实用的帮助系统,相比于其他统计分析软件,R还有以下特点: 1.R是*软件。这意味着它是完全免费,开放源代码的。可以在它的网站及其镜像中下载任何有关的安装程序、源代码、程序包及其源代码、文档资料。标准的安装文件身自身就带有许多模块和内嵌统计函数,安装好后可以直接实现许多常用的统计功能。[2] 2.R是一种可编程的语言。作为一个开放的统计编程环境,语法通俗易懂,很容易学会和掌握语言的语法。而且学会之后,我们可以编制自己的函数来扩展现有的语言。这也就是为什么它的更新速度比一般统计软件,如,SPSS,SAS等快得多。大多数最新的统计方法和技术都可以在R中直接得到。[2] 3. 所有R的函数和数据集是保存在程序包里面的。只有当一个包被载入时,它的内容才可以被访问。一些常用、基本的程序包已经被收入了标准安装文件中,随着新的统计分析方法的出现,标准安装文件中所包含的程序包也随着版本的更新而不断变化。在另外版安装文件中,已经包含的程序包有:base一R的基础模块、mle一极大似然估计模块、ts一时间序列分析模块、mva一多元统计分析模块、survival一生存分析模块等等.[2] 4.R具有很强的互动性。除了图形输出是在另外的窗口处,它的输入输出窗口都是在同一个窗口进行的,输入语法中如果出现错误会马上在窗口口中得到提示,对以前输入过的命令有记忆功能,可以随时再现、编辑修改以满足用户的需要。输出的图形可以直接保存为JPG,BMP,PNG等图片格式,还可以直接保存为PDF文件。另外,和其他编程语言和数据库之间有很好的接口。[2] 5.如果加入R的帮助邮件列表一,每天都可能会收到几十份关于R的邮件资讯。可以和全球一流的统计计算方面的专家讨论各种问题,可以说是全世界最大、最前沿的统计学家思维的聚集地.[2] R是基于S语言的一个GNU项目,所以也可以当作S语言的一种实现,通常用S语言编写的代码都可以不作修改的在R环境下运行。 R的语法是来自Scheme。R的使用与S-PLUS有很多类似之处,这两种语言有一定的兼容性。S-PLUS的使用手册,只要稍加修改就可作为R的使用手册。所以有人说:R,是S-PLUS的一个“克隆”。 但是请不要忘了:R是免费的(R is free)。R语言源代码托管在github,具体地址可以看参考资料。[3] 。 R语言的下载可以通过CRAN的镜像来查找。 R语言有域名为.cn的下载地址,有六个,其中两个由Datagurn,由 中国科学技术大学提供的。R语言Windows版,其中由两个下载地点是Datagurn和 USTC提供的。 三、stata Stata 是一套提供其使用者数据分析、数据管理以及绘制专业图表的完整及整合性统计软件。它提供许许多多功能,包含线性混合模型、均衡重复反复及多项式普罗比模式。用Stata绘制的统计图形相当精美。 新版本的STATA采用最具亲和力的窗口接口,使用者自行建立程序时,软件能提供具有直接命令式的语法。Stata提供完整的使用手册,包含统计样本建立、解释、模型与语法、文献等超过一万余页的出版品。 除此之外,Stata软件可以透过网络实时更新每天的最新功能,更可以得知世界各地的使用者对于STATA公司提出的问题与解决之道。使用者也可以透过Stata. Journal获得许许多多的相关讯息以及书籍介绍等。另外一个获取庞大资源的管道就是Statalist,它是一个独立的listserver,每月交替提供使用者超过1000个讯息以及50个程序。 四、PYTHON
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