期中考试数学几何中的常用推论

Introduction

• 本文主要介绍中考数学中几何试题的常用推论，应用推论会使解题更快。

• 本文大部分例题来自 [潍坊中考] 各县市区模拟及校模考。

• 本文的部分例题为试题拍照。不很清晰，请见谅。（主要是我懒得把图再画一遍，如果以后有时间我还记得的话可能会重画qwq）

• 笔者水平有限，若有严重原则性错误或图有错 请联系 qq：1002546483 或者洛谷站内私信SXqwq , 而不是在博客园评论

• 保证本文不涉及任何高中知识。具备初中数学水平即可无障碍理解。

• 多图预警。

1.角平分线系列

如图，\(AG\) 平分 \(∠CAB\)，\(FG // AC\) ,得 \(\Delta AFG\) 为等边三角形。

此时，我们再添加一条线 \(KL⊥ AD\) ，如图：

则满足 \(\Delta JAK ≌ \Delta KAL\) ，且二者均为直角三角形。

该结论不仅可以用来判定，还可以用来做辅助线。在角平分线遇到垂直时，我们可以延长得到等腰三角形，然后再结合其他条件求解。例如：

本题中，已知等腰直角三角形和一条角平分线，如图延长，得到等腰三角形。再依据三线合一得中点，利用中位线求解。

三角形中，两条角平分线问题

在三角形中，给定两条角平分线，则这两条角平分线的交点一定在另外一个角的平分线上。

\(BD,CE\) 均为角平分线，其交点为 \(F\),满足 \(∠BFC = 90+\frac{1}{2} ∠A\)，且 \(AF\) 平分 \(∠A\).

在第一个图的基础上，延长 \(BD\),作 \(∠ACG\) 的角平分线，与 \(BD\) 交于 \(M\)，满足 \(∠H=\frac{1}{2} ∠BHC\)，且 \(AH\) 平分 \(∠IAC\)

继续作 \(∠JBC,∠BCK\) 的平分线，交于 \(L\)，满足 \(∠BLC = 90-\frac{1}{2}∠JAK\),且 \(AL\) 平分 \(∠BAK\)

以上三幅图，分别对应三种角平分线基本模型，两内型，一内一外型，两外型。
应用上述模型可以快速解题，如下：[2024安丘一模]

等腰三角形

定理：在等腰三角形中，底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高。

图形描述：

如图，\(\Delta A_1B_1C_1\) 为等腰三角形，在底边上任取一点 \(D_1\)，作 \(A_1B_1,A_1C_1\) 的垂线。过点 \(C_1\) 作 \(A_1B_1\) 垂线。满足：\(G_1C_1=E_1D_1+D_1F_1\)（绘图精度问题，读者请自行认为 \(G_1\) 在 \(A_1B_1\) 上。）

证明：

过点 \(D_1\) 作 \(G_1C_1\) 垂线。垂足为 \(H_1\)。显然 \(E_1D_1=G_1H_1\)。易证 \(\Delta H_1D_1C_1 ≌ \Delta F_1D_1C_1(AAS)\)。得\(H_1C_1=D_1F_1\)。

上述结论对于某些特定题目可以快速解决。如下。

四边形 \(J_1K_1L_1M_1\) 为矩形。\(J_1K_1=6,K_1L_1=8\)。\(∠J_1N_1O_1=∠O_1P_1M_1=90°\)，求 \(OE+OF\)。

解：过点 \(J_1\) 作 \(K_1M_1\) 的垂线。垂足为 \(Q\)，应用结论线段 \(J_1Q_1\)即为所求。应用等积法即可求解。

圆和三角形

关于计算圆外切直角三角形半径，可以直接应用定理解决，具体如下：

在 \(Rt\Delta A_1ZC_1\) 中，定义直角边为 \(a,b\)，斜边为 \(c\)，则内切圆 \(D_1\) 的半径计算公式为 \(r=\frac{a+b-c}{2}\)。

同时，仍不能忽略的是，圆与直角的两条边相切，一定出现正方形。上图恰好体现了这一点。读者可自行发现。

定理：对于任意三角形的内切圆，每条切线长等于周长的一半减对边。

如图，\(F_1K_1=\frac{1}{2}(F_1G_1+G_1H_1+F_1H_1)-F_1H_1\)。

2.正方形

在正方形中，已知 \(TU ⊥ QR\) ，则 \(TQ=QR\).反之，若已知 \(TQ=QR\) ,则 \(TQ ⊥ QR\).应用相似和全等即可证明，这里不谈。

这个结论非常常用，可以在多选题节省时间。

3.“手拉手”模型

这里的“手拉手”模型分为两种，一种是共线型，一种是非共线型。与共线型相比，非共线型的结论较少。但非常重要。

上图是共线型的手拉手模型。已知 \(\Delta ABC,\Delta DCE\) 均为等边三角形。\(B,C,E\) 三点共线。

推论：

• \(\Delta DBC ≌ \Delta AEC\) （基本全等，在非共线型仍适用）

• \(\Delta FGC\) 为等边三角形

• \(FG // BC\)

• \(\Delta FBC ≌ \Delta GAC\)

中点问题

对于初中平面几何，条件中出现中点，常见的直接应用有如下情况。

• 等腰三角形三线合一

• 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（可以反向判定直角三角形）

• 普通三角形中线平分面积

诚然，直接应用中点定义的情况较少。也不乏有这样的应用。需灵活处理。

若条件中只给出一个中点，且没有给出该中点所在线段的长，且不属于以上任意一种情况，我们可以另外构造一个中点，构成中位线解决问题。

上述构造方案在 [中点，角平分线] 的条件组合中尤为适用。

已知 \(HK\) 平分 \(∠JHI,M\) 是 \(JI\) 的中点。\(JM // HK\) ,\(HJ = 11,HI=15\) ,求 \(LI\)

本题就对应了上述情况，条件中出现 [中点，角平分线] ，且我们无法直接应用中点。不妨取 \(HI\) 的中点 \(N\),连接 \(MN\).

得 \(MN // HJ,MN = \frac{1}{2} HJ=\frac{11}{2}\) ，根据 “角平分线遇平行线得等腰三角形” 得 \(\Delta LNM\) 为等腰三角形，\(LN=MN=\frac{11}{2}\) 根据中点定义得 \(NI=\frac{15}{2}\) ,即可求解。（等腰三角形 \(\Delta LNM\) 的证明应用了外角，总之还是基本模型的变形）

圆上常用结论

在圆上的几何证明属于潍坊中考热门。

弦切角定理

文字描述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

\(QR\) 与 圆 \(O\) 相切，\(R\) 为切点。满足 \(∠PRQ=∠PSR\) 证明显然。

需要注意的是，本结论无条件成立。

圆幂定理

文字描述：与圆 \(O\) 相交，相切的任意两条线段 \(TP,UV\) 相较于 \(W\) 点，满足 \(TW \times WP=UW \times WV\)

无条件成立。

证明：圆中常见八字型相似。

（实际上切线长定理也属于圆幂定理）

在圆中，还有一些常见的辅助线方法，如 “遇直径，连直角”“遇直角，连直径”。在圆与其他几何图形混合的时候仍不能忽略这一点。

圆中内心外心问题

此类问题我认为没有什么可以变形的。比较典。读者记住常见的处理方法即可。

如图。圆 \(A\) 外接 \(\Delta CDE\).\(C,F,G,B\) 共线, \(F\) 是 \(\Delta CDE\) 的内心。则满足 \(DB=BF,BF^2=DB^2=BF\times BC\).

证明比较显然，由内心的定义得 \(CF,DF,FE\) 为角平分线，再依据圆周角，最终得出 \(∠FDB=∠DFB\). \(DB=BF\) 得证.

至于 \(BF^2=DB^2=BF\times BC\) ，易得 \(\Delta FDB \sim \Delta CBD\) 这是一对典型的母子型相似。然后应用母子型相似的 “公共边的平方等于从公共顶点引出的另外两条线段的乘积” 即可证明。这个结论用相似比可以得出。这里不做赘述。

证明结论是次要的，我们需要在一个比较复杂，综合的图形中看出基本结论和模型。进而直接应用。

大圆套小圆 · 平移变同心圆

如图，\(H,J\) 分别为两圆的圆心。弦 \(LM ⊥ y\) 轴且与圆 \(J\) 相切。保证两圆有唯一交点 \(K\)，即 \(H,J\) 共线。已知 \(LM=10\)，求圆 \(H\) 与 圆 \(J\) 面积之差.

（下文解析定义 \(R,r\) 分别表示圆 \(H,J\) 的半径）.

对于此类问题，我们无法具体求出大圆或者小圆的具体面积，当然我们可以通过列式子，得出 \(R\) 与 \(r\) 的关系。但如果平移小圆，变同心圆。就会简单很多。

此时，由于保证两圆心共线，平移后圆 \(J\) 与 弦 \(JM\) 仍相切，切点为 \(N\).根据垂径定理以及直角三角形，得出 \(R^2-r^2=LN^2=25\)，继而解决问题。

对于部分题目，是在半圆内解决问题，我们可以将半圆补成圆，然后通过平移解决问题。我没有找到很好的例题就先不讲了。

等腰三角形与圆

定理：若等腰三角形的一腰为圆的直径，则该圆与等腰三角形底边的交点一定为底边中点。

如图，\(\Delta ABC\) 为等腰三角形，满足 \(AC=BC\)。以 \(BC\) 为直径做圆 \(D\) 交 \(AB\) 于点 \(E\)。则满足 \(AE=BE\).

证明非常显然，因为 \(AB\) 为直径，易得 \(CE ⊥ AB\)。再加上等腰三角形三线合一，得出中点。

实际上该结论更常用的是作为中位线。如图，连接 \(DE\)，则 \(DE\) 为 \(\Delta ABC\) 的中位线。

基础相似

基本的相似图形有 “A型，反A型，母子型，一线三等角，X型”。

A型

最显然的相似，也可以叫 平行线分线段成比例. 只需已知 \(DE//BC\) 即可。结论显然。

反A型

将 A 型中的线段 \(DE\) 旋转，使得 \(∠FHJ=∠G\)，就构成了反 A 型相似。

母子型

比较抽象qwq

定义 \(∠FHJ=∠FJG\).比较显然的是构成 \(\Delta FHJ \sim \Delta FJG\).还有一个重要结论：在母子型相似中，公共边的平方等于从公共顶点引出的另外两条边的乘积。在上图中体现是 \(FJ^2 = FH\times FG\)。证明利用相似比即可，不再赘述。

一线三等角

我们常见的是直角三角形中的 “一线三等角”，这里先讲直角三角形中的。

如图所示，\(∠KNQ=90°\) \(KL,OP ⊥ x\) 轴。图中存在相似，读者可以自行发现。

其次，在非直角中，一线三等角同样存在。我们辨认一线三等角不能只看直角。

X 型相似

此外，在圆中也存在 X 型相似，我们的 圆幂定理 就是用圆中 X 型相似证明的。

大家会发现这是相交弦定理的典图，存在 \(ZC_1\times C_1W=A_1C_1\times C_1B_1\).这个是怎么证明的呢？就是应用了圆中的 X 型相似。注意到存在 \(\Delta ZC_1A_1 \sim \Delta WC_1B_1\)，然后相似比即可证明。

圆中的 X 型相似不只限于证明相交弦定理，它的应用非常广泛，只需要在圆中任取四个点连接即存在 X 型相似。

以上就是基本相似图形。

圆 · 翻折过圆心

翻折过圆心一定会出现等边三角形。

如图，圆 \(G_1\) 与圆 \(E_1\) 圆心相交。两圆分别交于 \(l_1,g_1\)。满足 \(\Delta E_1l_1g_1\) 为等边三角形。\(l_1g_1\) 与 \(E_1G_1\) 互相垂直平分。证明显然。

动点求最值

对于动点问题，重要的是 找到动点的运动轨迹 下面列出几个常见的轨迹。

• 到一定点距离相等的点，在以定点为圆心，以定长为半径的圆上。

• 到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

• 到角的两端距离相等的点，在角平分先上。

• 线段外一点与线段两端夹角为定值的。在以线段为弦的圆上。（实际上更常见的是夹角为90°，那么动点就在以线段为直径的圆上）

还有一些结论和思考方法。

圆外一定点到圆上的最短/最长距离，一定过圆心。

对于两条线段和最值，先将军饮马共线。再考虑共线后线段长的最值。