打开画笔：信号与系统》第 2 章 Lec #6 因果 LTI 系统的差分/微分方程表示法

最编程 2024-06-15 20:07:19

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课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.72 - p.80

1. 线性常系数微分方程

考虑如下线性常系数微分方程，
$\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d} t}+2y(t)=x(t)$

利用这个线性常系数微分方程，得到了系统输入输出的一个隐式表达，为了得到明确的输入输出表达，必须求解这个微分方程。

微分方程描述的只是系统输入和输出之间的约束关系，为了完全表征系统，必须同时给出附加条件。

我们所研究的因果线性时不变系统，所隐含的附加条件就是初始松弛（initial rest）。

现在求解这个微分方程，考虑
$x(t)=Ke^{3t}u(t)$
求解系统输出 $y(t)$ 。

线性常系数微分方程的解由特解 $y_p(t)$ （particular solution）和通解y_h(t)（homogeneous solution）构成，
$y(t)=y_p(t)+y_h(t)$

特解 $y_p(t)$ 满足原线性常系数微分方程，而通解y_h(t)需要满足以下线性常系数齐次微分方程，
$\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}+2y(t)=0$

第1步，求特解

已知输入 $x(t)=Ke^{3t}u(t)$ ，当 $t>0$ 时输入可以简化为 $x(t)=Ke^{3t}$ 。求特解的通用办法是找到所谓的受迫响应（forced response），即一个与输入形式相同的信号。设 $t>0$ 时，
$y_p(t)=Ye^{3t}$

将特解 $y_p(t)$ 代入微分方程可得当 $t>0$ 时，
$3Ye^{3t}+2Ye^{3t}=Ke^{3t}$
$Y=\frac {K}{5}$
$y_p(t)=\frac{K}{5}e^{3t}, t>0$

第2步，求通解

假设
$y_h(t)=Ae^{st}$

代入齐次微分方程，得到
$sAe^{st}+2Ae^{st}=0$
$s=-2$
$y_h(t)=Ae^{-2t}$
$y(t)=\frac{K}{5}e^{3t}+Ae^{-2t}, t>0$

第3步，确定未知数 $A$

根据初始松弛条件，有 $y(0)=0$ ，
$A=- \frac{K}{5}$
$y(t)=\frac{K}{5}e^{3t}-\frac{K}{5}e^{-2t}, t>0$
又由于初始松弛， $y(t)=0,t<0$ ，所以得到完全解，
$y(t)=\Big[\frac{K}{5}e^{3t}-\frac{K}{5}e^{-2t}\Big]\cdot u(t)$

通过上面这个例子，可以看出线性常系数微分方程所表示的系统对某个输入 $x(t)$ 的响应一般都是由一个特解和一个齐次解（即输入置0时微分方程的解）所组成，齐次解也往往称为系统的自然响应。为了完全确定微分方程所描述的系统的输入输出关系，就必须指定附加条件，不同的附加条件会导致不同的输入输出关系。

现在考虑 $N$ 阶线性常系数微分方程，
$\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{\mathrm{d}^k y(t)}{\mathrm{d}t^k }=\sum_{k=0}^{M} b_k \frac{\mathrm{d}^k x(t)}{\mathrm{d}t^k}$

阶次指的是出现在这个方程中输出 $y(t)$ 的最高阶导数。

需要注意，线性常系数微分方程所描述的系统不一定是线性的，只有当附加条件是初始松弛是，其所描述的系统是线性时不变的，而且还是因果的。

2. 线性常系数差分方程

$N$ 阶线性常系数差分方程
$\sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$

解法与微分方程类似，同样包含一个特解和一个齐次解，同样需要附加条件。一般附加条件都是初始松弛，初始松弛条件下，该方程所描述的离散系统就是LTI系统，而且因果。

从另外一个角度看差分方程所描述的离散系统，将上面那个差分方程进行如下改写，
$y[n]=\frac{1}{a_0} \Bigg\{ \sum_{k=0}^{M} {b_k} x[n-k] -\sum_{k=1}^{N} {a_k} y[n-k] \Bigg\}$

这样，输出 $y[n]$ 直接就由以前的输入和输出值来表示。而且可以看出求 $y[n]$ 就需要附加条件 $y[n-1],...,y[n-N]$ 。上面这个方程称为递归方程。当 $N=0$ 时称为非递归方程，因为当 $N=0$ 时不需要递归地利用前面计算的输出值来计算当前的输出值。

$N=0$ ， $y[n]=\sum_{k=0}^{M} (\frac{b_k}{a_0}) x[n-k]$ ，非递归方程，不需要附加条件来确定 $y[n]$ ，该系统的单位脉冲响应为
$h[n]=\begin{cases} \frac{b_n}{a_0}&, 0 \leq n \leq M \\\\ 0&, others \end{cases}$

由此可以看出 $y[n]$ 的表达式也恰好是其卷积和表达。

注意它的单位脉冲响应是有限长度的，所以这个 $y[n]$ 的表达所描述的系统称为有限脉冲响应（FIR）系统

$N \geq 0$ ，该差分方程是递归的，其所描述的LTI系统再与初始松弛条件相结合，其单位脉冲响应是无限长度的（IIR）。

3. 用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示

这一节就比较简单了。有两点需要注意，

第一点是连续时间系统中，微分器实现困难，而且对噪声和误差极为灵敏，因此一般对线性常系数微分方程左右两边同时做从 $-\infty$ 到 $t$ 的积分，然后利用积分器组成系统框图。积分器可以方便的利用运算放大器实现。
第二点非常有意思，考虑将 $N$ 阶线性常系数差分方程表示为如下框图，

N阶差分方程系统框图