IV.数字图像处理的数学基础

• 线性系统理论
• 常用矩阵运算

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线性系统理论

1.线性系统

系统输入x(t)及响应y(t)满足：

• 齐次性：ax -> ay（a为常数），输入扩大a倍，对应输出扩大a倍
• 叠加性：x1+x2->y1+y2

则，系统为线性系统，具有线性性质：a1x1+a2x2 -> a1y1+a2y2，否则为非线性系统（非线性系统复杂得多，很多情况下将其分段看做是线性的）

许多图像处理系统可以用线性系统作为模型。

2.线性空间不变系统（Linear Space Invariant，LSI）

类比信号处理中的线性时不变系统。只不过图像处理中是空间线性不变系统。

3.卷积

d(x,y)(冲击信号/函数) -> 线性时不变系统 -> h(x,y)，此处delta函数为激励，h为响应，也叫系统函数。如图一

意义：对于线性时不变系统，任意的输入信号f(x,y)的响应y(x,y)等于f(x,y)和系统函数的卷积。

卷积的本质与物理意义

卷积的应用：

• 卷积滤波：平滑，边缘增强
• 去卷积（图像成像及退化模型）

图像处理中，卷积模板就是线性系统的系统函数，每个像素点可以看做一个输入，它的输出可以通过输入[卷积，一种积分预算]系统函数得到。3*3的模板作用就相当于最中间点通过系统的响应实际是周围所有点(输入信号)的响应在空间上(若是线性时不变系统就是时间上的)衰减的叠加再加上该点自身的响应，这是从信号分析的角度，结合卷积的物理意义，那么事实上也就是说图像中的任意像素点应该是其他所有点的响应衰减叠加，再加上本身在这个空间点的响应，这也是卷积的定义，但我们只取最近邻的8个方向的点（最近的影响最大，远处的响应波及到该点时认为衰减过大，影响已经很小了），所以卷积模板只取3*3，当然也可以5*5，再大可能就意义不大了，相当于在拘泥于高阶无穷小量的影响。

4.调谐信号

简化线性系统分析，常用于表示正弦信号。如图二所示

这个信号相当于单位长度在复平面的转动，因为圆周转动的结果就是正弦函数。所以用调谐信号来表示正弦信号。（这里为什么只取实部？观察整个转动在实轴的投影，它就是正弦函数，复轴也是，但是我们只取实数部分）。

线性系统对调谐输入的响应：x为输入，K为系统函数，y为输出，如下图三

这里K也叫传递函数，可以看出K与t无关，因为K(w,t-T)=K(w,t)，这里T可以任意取（x2可以相对x1向后任意延时激活），故K认为只与w有关。

实际信号还是正弦信号，但是可以通过调谐信号为桥梁进行计算：

• 将输入的正弦信号表示成调谐信号
• 计算线性系统对该调谐输入的响应
• 取输出的实部就是真正的输出（原正弦信号对应的输出）

线性移不变系统性质：

• 调谐输入总产生同频率的调谐输出，不会产生其他频率分量。
• 传递函数[k(w)]对调谐信号输入只产生两种影响，幅度变换和相位平移。

线性移不变系统的表现形式：本质是相同统一的。

• 复数形式的传递函数K(w)
• 实数形式的卷积冲击响应。

常用函数：

• 矩形函数
• 三角脉冲
• 高斯函数
• 冲激函数delta function：持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，面积恒为1的理想信号
• 阶跃函数

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常用矩阵运算

1.矩阵、方阵、对角阵、上下三角矩阵、单位矩阵

2.运算

线性运算

• 加法：对应元素相加
• 数乘矩阵：数乘每一个矩阵元素，满足结合律，分配律

非线性运算

• 矩阵乘法
• 转置运算

对称

• 对称矩阵：A等于A的转置
• 反对称矩阵：-A等于A的转置

逆矩阵：方阵讨论，若AB=BA=E，则AB互为逆矩阵，A、B可逆，逆矩阵用-1次幂表示。

对角阵的逆直接取对角元素的倒数（对角元素不为0），副对角线的话同理，但需要交换次序。