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求解脉冲函数的示例

最编程 2024-06-15 20:08:08
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0 基本知识笔记
  • 冲激响应 impluse response

  对于线性时不变系统，单位冲激函数\delta(t)作用下的零状态响应称为冲激响应h(t)，与阶跃响应的关系为h(t)=\frac{ds(t)}{dt}。该系统对任意激励e(t)的响应为u(t)=h(t) \ast e(t) + r_{zi}(t)，r_{zi}(t)为零输入相应。

  离散形式为y[n]=h[n] \ast e[n] + r_{zi}[n]。

1 部分分式法求解冲激响应

若系统的输入-输出(e(t)\rightarrow r(t))方程有以下微分方程形式，

\sum^n_{k=0}a_k \frac{d^kr}{dt^k} = \sum^m_{k=0}b_k \frac{d^ke}{dt^k} ,\quad let\; a_n = 1

微分算子用p表示，即 p^n \triangleq \frac{d^n}{dt^n}，则可得到一转移算子H(p)，

H(p)=\frac{\sum^m_{k=0}b_k p^k}{\sum^n_{k=0}a_k p^k}

微分方程化为r(t)=H(p)e(t)，则冲激响应为h(t)=H(p)\delta(t)。若m \le n，则对H(p)作分式展开后得到如下形式，

H(p)=A_0 + \sum^{N}_{k=1}\frac{A_k}{(p-\lambda_k)^{\sigma_k}}

而由Laplace变换可知对于不同的\sigma有如下解

\sigma H(p) Solution
0 1 h(t)=\delta(t)
1 \frac{1}{p-\lambda} h(t)=e^{-\lambda t}u(t)
n \ge 2 \frac{1}{(p-\lambda)^n} h(t)=\frac{t^n}{(n-1)!} e^{-\lambda t} u(t)

所以可求得冲激响应

h(t) = A_0 \delta(t) + \sum^N_{k=1} A_k t^{\sigma_k} e^{-\lambda_k t} u(t)

下举两例

1. \frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 3r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 2e(t)

\begin{aligned}\therefore h(t) &= \delta(t) \frac{p+2}{p^2+4p+3} \\ &= \delta(t) \left( \frac{1 /2}{p+1} + \frac{1 /2}{p+3} \right) \\ &= \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2} u(t)\end{aligned}

2. \frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 4r(t) = 2 \frac{d^2 e(t)}{d t^2} + 9 \frac{de(t)}{dt} + 11e(t)

\begin{aligned}\therefore h(t) &= \delta(t) \frac{2p^2 + 9p + 11}{p^2 + 4p + 4} \\ &= \delta(t) \left\lbrack 2 + \frac{1}{p+2} + \frac{1}{(p+2)^2} \right\rbrack \\ &= 2\delta(t) + (1 + t) e^{-2t} u(t) \end{aligned}

2 线性时不变性质求解冲激响应

由上面的讨论可知，冲激响应的求解归结为求 h(t) \sum^n_{k=0}a_k p^k = \delta(t) \sum^m_{k=0}b_k p^k。而根据线性时不变系统的相关性质，可以先求解易解的 h_0(t) \sum^n_{k=0}a_k p^k = \delta(t)，在作叠加即可求得冲激响应h(t)。

仍以 \frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 3r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 2e(t) 为例。

(p^2+4p+3) h_0(t) = \delta(t) \Rightarrow h_0(t) = \frac{e^{-t} - e^{-3t}}{2} u(t)

所以可得冲激响应，

h(t) = \frac{dh_0(t)}{dt} + 2h_0(t) = \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2} u(t)

3 一个离散信号的例子

考虑描述一因果线性时不变系统的差分方程，
y[n] + \frac{5}{6}y[n-1] + \frac{1}{6}y[n-2] = x[n] + 3x[n-1] + \frac{11}{6}x[n-2] + \frac{1}{3}x[n-3]

用p表示e^{-j\omega}，则该系统的频率响应为，

\begin{aligned} H(p) &= \frac{1 + 3p + \frac{11}{6}p^2 + \frac{1}{3}p^3}{ 1 + \frac{5}{6} p + \frac{1}{6} p^2} \\ &= 1 + 2p + \frac{1}{1+p / 3} + \frac{-1}{1+p /2} \end{aligned}

于是也可以对应得出冲激响应为，

h[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] + \left\lbrack \frac{1}{(-3)^n} - \frac{1}{(-2)^n} \right\rbrack u[n]

可以看出，即使 H(p) 是真分式也可以用类似的部分分式法求解冲激响应。

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