学习笔记：矩阵二次子空间的零空间

1、一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间

对于一个齐次线性方程组Ax=O来说，它的所有的解中每一解都是向量，那么把这些向量(齐次线性方程组的解)集合在一起形成一个空间，其实这个空间是一个向量空间。

这个结论可以证明如下：
对于一个齐次线性方程组Ax=O，它一定有解，因为至少会存在一个零解，所以它的所有解形成的空间不可能为空。

Case 1   当这个齐次线性方程组只有唯一零解的时候，意味着它的解形成的空间只有一个零向量，此时这个空间的维度为0，空间内向量的加法和数量乘法满足封闭性，是一个向量空间，很容易得证。

Case 2   当这个齐次线性方程组有无数解的时候，求证它的解形成的空间是向量空间:
假设这个齐次线性系统的系数矩阵A是一个m∗n的矩阵，那么它的每个解都是一个n维向量(有序实数元组)。如果这些解形成的空间是向量空间，则一定是n维空间( 欧几里得空间   Rn   是向量空间)的子空间。

所以当证明齐次线性方程组的解形成的空间是n维欧几里得空间的子空间，就说明它是一个向量空间。
只需证明这个空间对向量加法和数量乘法封闭

（1）证明空间对向量加法封闭
假设向量→u和→v是齐次线性方程组Ax=O的两个解
就有 A⋅→u=O, A⋅→v=O→A⋅→u+A⋅→v=O ；
进而可得A⋅(→u+→v)=O；
上式子意味着两向量→u，→v的和(→u+→v)也是这个齐次线性方程组的解;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取两个向量→u和→v，→u+→v还是在这个空间内，所以该空间对向量加法封闭

（2）证明空间对向量的数量乘法封闭
假设向量→u是齐次线性方程组Ax=O的一个解
就有 A⋅→u=O, 这个等式两边同乘以一个实数k，可得k⋅A⋅(→u+→v)=k⋅O=O；
改写后可得A⋅(k→u)=O；
上式子意味着向量k→u也是这个齐次线性方程组的解;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取一个向量→u，那么这个→u乘以任何一个实数k，结果k→u还是在这个齐次线性方程组的解形成的空间内，所以该空间对数量乘法封闭。

>>综上，一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间得证

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2、矩阵的零空间

零空间：一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间，称这个空间为"零空间(Null Space)"。

对于一个矩阵A来说，它的零空间就是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0中，这个线性系统所有的解x组成的空间就是矩阵A的零空间。

零空间是矩阵的一个特殊的子空间,矩阵的零空间相比矩阵的行空间和列列空间要更加抽象，因为对于一个矩阵的行空间和列空间，我们可以直观的看到生成它们的就是这个矩阵的行向量和列向量，然后因为这些行向量和列向量可能线性相关，所以往往需要通过特殊的计算手段(对矩阵进行高斯消元求算矩阵的秩)来获得行空间和列空间的具体维度，进而能找到空间的一组基。相比之下，生成一个矩阵的零空间的向量，需要通过求解齐次线性方程组Ax=0来获取。

对零空间的一些理解

对于线性系统Ax=O，所有的x组成的空间是零空间。

• 如果把矩阵看成是向量的转换函数，那么对于等式Ax=O,其中系数矩阵A就可以看成是一个转换函数，零空间是一个集合，集合内的所有向量在A的变换下，都可以被映射到零点！

• 如果把矩阵看成是空间，那么就有零空间内任意向量和矩阵A的行向量的点乘结果为0！
  进一步推广，因为矩阵A的行空间内的任意向量都由矩阵的行向量的线性组合所表示(如→w=k1→u+k2→v)，而零空间内任意向量和矩阵A的行向量的点乘结果为0，就有→x⋅→w=k1→u⋅→x+k2→v⋅→x=0，所以可以得出结论"对于零空间内的任意向量，和矩阵A的行空间的任意向量的点乘结果为0"这个结论其实表面，零空间内的所有向量，和矩阵A的行空间中的所有向量是垂直(正交)的。→矩阵A的零空间与矩阵A的行空间正交。

  三维空间中二维空间(平面)和一维空间(Line)的正交情况

  
  
  如果是对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内是不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。

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总结

矩阵A的零空间
把A看作是系统: A的零空间，就是Ax=0中，所有x组成的空间。
把A看作是函数(变换): A的零空间，所有被A变化为0点的所有向量组成的空间。
把A看作是空间: A的零空间，是和A的行空间正交的向量空间。