[线性代数] 矩阵的四个基本子空间 - 左零空间
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2024-06-16 22:49:06
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左零空间是ATx=0的解的集合。由于秩为r，则*变量的个数为m-r，即左零空间的维数为m-r。
上面都是一些定理结果，下面来举例说明上述定理：
假设矩阵为A:
经过高斯消元得到行最简式R:
于是我们知道矩阵A的秩为2，则其列空间，行空间的维数都是2，零空间的维数为4-2=2，左零空间的维数为3-2=1。
很明显，矩阵A的列中，前两列是线性无关的，则其列空间可以由前两列来表示。同理，前两行是线性无关的，其行空间可以有前两行来表示。由于只有两个主元，则*变量个数为4-2=2，所以零空间的特解有两个，零空间可以由这两个特解的线性组合来表示。由于左零空间可以看成是ATx=0的线性组合，则有：
我们知道初等行变换不改变矩阵的行空间，但可能改变其列空间(因为行变换是行向量的线性组合)，并且消元过程可以表示如下：
我们可以看出，初等矩阵E的第三行与A相乘得到的是0向量即：
对比下式：
可以求得x的值：
这个x就是左零空间的基，因此左零空间的维数为3-2=1。
原文：http://blog.****.net/tengweitw/article/details/40950001
作者：nineheadedbird
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