多项式内插法（定义）

最编程 2024-06-30 14:20:43

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百度的定义：
插值法又称“内插法”，是利用函数 $f(x)$ 在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数 $f(x)$ 的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为多项式插值。

简单地说，就是原函数比较复杂，根据特定区间的某几个点，我们找到一个简单易求得的函数（这里是多项式），就可以用简单函数的结果近似的替代原来的函数值。这样的替代当然会存在误差，后面会有一部分专门讨论误差的部分。

【定义】设 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，且已知该函数在区间上 $n+1$ 个互异点 $a \leq x_0 < x_1 < ... < x_n \leq b$ 的函数值为 $y_0,y_1,...,y_n$ ，若存在一个次数不超过 $n$ 次的多项式 $p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ 满足条件 $p(x_i) = y_i(i=0,1,...,n)$ 则称 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 次插值多项式。其中区间 $[a,b]$ 是插值区间，给定的 $n+1$ 个互异点 ${(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)}$ 是插值点。

求函数 $f(x)$ 的近似表达式 $p(x)$ 所用的方法就是插值法。

【定理】唯一性
满足 $n+1$ 个插值条件的 $n$ 次插值多项式存在且唯一。

证：对给定的插值区间 $[a,b]$ ，以及区间上 $n+1$ 个互异点 $a \leq x_0 < x_1 < ... < x_n \leq b$ 的函数值为 $y_0,y_1,...,y_n$ ，设插值多项式为 $p_n(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$
由插值条件 $p(x_i) = y_i(i=0,1,...,n)$
可以得到关于系数 $a_0,a_1,...,a_n$ 的 $n+1$ 元线性方程组：
$\begin{cases} a_0+a_1x_0+...+a_nx_0^n=y_0\\ a_0+a_1x_1+...+a_nx_1^n=y_1\\ \vdots\\ a_0+a_1x_n+...+a_nx_n^n=y_n\\ \end{cases}$
此方程的系数矩阵为
$A = \begin{bmatrix} {1}&{x_0}&{\cdots}&{x_0^n}\\ {1}&{x_1}&{\cdots}&{x_1^n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {1}&{x_n}&{\cdots}&{x_n^n}\\ \end{bmatrix}$
此为范德蒙德 $(Vandermonde)$ 矩阵，由于 $x_i(i=0,1,...,n)$ 各不相同，故有 $detA = \prod_{i,j=0\\i>j}^n(x_i-x_j) \neq 0$
因此线性方程组的解 $a_0,a_1,...,a_n$ 存在且唯一，故唯一性得证。