线性代数基础 - 矩阵基础

六、矩阵的幂

定义

• 对于一个n阶方阵A，其m次幂表示将该矩阵连续乘以自身m次的结果，记作Am = A×A×…×A（共m个A相乘）。
• 特别地，当m=0时，规定A^0为单位矩阵E，即与A同阶的方阵，其对角线元素为1，其余元素为0。

性质

• 矩阵的幂运算满足一些基本的性质，如结合律、分配律等。
• 结合律：(A^k1)A^k2 = A^(k1+k2)。
• 幂的幂律：对于矩阵A和非负整数m和n，有A^(mn) = (A^n)^m。
• 单位矩阵的幂：对于任何非负整数m，都有I^m = I，其中I是n×n单位矩阵。
• 矩阵的幂运算不满足交换律，即(AB)^k通常不等于A^kB^k，除非A和B是可交换的。

七、伴随矩阵

定义

• 伴随矩阵是将原矩阵的每个元素替换为其代数余子式，然后对这些代数余子式进行转置得到的矩阵。对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)或A*。
• 代数余子式是指将矩阵A中第i行第j列元素aij去掉后，剩余部分形成的(n-1)阶子矩阵的行列式，再乘以(-1)的i+j次幂。

性质

• 伴随矩阵与原矩阵满足关系：AA*A = |A|E，其中|A|表示矩阵A的行列式，E为单位矩阵。
• 伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式有直接关系，具体为det(adj(A)) = det(A)^(n-1)。
• 若原矩阵可逆，则伴随矩阵的转置乘以原矩阵行列式的逆，即(adj(A) |A|^-1)，就是原矩阵的逆矩阵。
• 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩有关。例如，当原矩阵的秩为n时，伴随矩阵的秩也为n；当原矩阵的秩为n-1时，伴随矩阵的秩为1；当原矩阵的秩小于n-1时，伴随矩阵的秩为0。

计算方法

• 对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵的计算步骤如下：

  1. 计算矩阵A的每个元素的代数余子式。
  2. 将这些代数余子式按原矩阵的位置进行转置排列，得到伴随矩阵。

八、逆矩阵

定义

• 逆矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A可逆，B即为A的逆矩阵。
• 逆矩阵通常用A^(-1)表示，其中A为原矩阵。

性质

• 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
• 可逆矩阵一定是方阵。
• 如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的。
• 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
• 两个可逆矩阵的乘积依然可逆，且乘积的逆等于这两个矩阵的逆的乘积以相反的顺序。
• 可逆矩阵的转置矩阵也可逆，且转置的逆等于逆的转置。
• 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
• 逆矩阵的逆矩阵就是原矩阵本身，即(A(-1) = A。
• 逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式互为倒数，即det(A^(-1)) = 1/det(A)。

计算方法

• 初等行变换法：将可逆矩阵A和单位矩阵I合并成矩阵B =(A,I)，对B施行初等行变换，将A转化为单位矩阵I，此时B的右半部分即为A的逆矩阵。
• 待定系数法：通过设立未知数来表示逆矩阵的元素，然后利用矩阵乘法的性质建立方程组，解方程组求出逆矩阵的元素。
• 伴随矩阵法：先计算矩阵的伴随矩阵，然后利用公式A^(-1) = adj(A) / det(A)计算逆矩阵，其中adj(A)是A的伴随矩阵，det(A)是A的行列式。
• 高斯-约当消元法：通过初等行变换将矩阵转换为行最简阶梯形矩阵，然后将其转换为单位矩阵，同时将单位矩阵转换为逆矩阵。
• 对于一些特殊矩阵，如上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵，它们的逆矩阵可以通过简单的公式或者性质直接得到。
• 现代计算机软件如MATLAB、Python等提供了求逆矩阵的函数，可以直接调用这些函数来求逆矩阵。

九、矩阵的标准型

        矩阵的标准型通常指的是矩阵经过一系列初等行变换和列变换后，所达到的具有一定特征的简化形式。在不同的数学领域和问题背景下，标准型的具体含义可能有所不同。

常见类型

1. 行阶梯形矩阵：
   • 这种矩阵的每行第一个非零元素（称为该行的主元）左边都是零元素，且每行的主元所在列上方的所有元素都是零。
2. 最简行阶梯形矩阵：
   • 在行阶梯形矩阵的基础上，每个主元都是1，且这些主元所在的列中，除了主元本身，其他元素都是零。
3. 对角形矩阵：
   • 非对角线上的元素都是零的矩阵，即除了主对角线上的元素，其他位置的元素都是零。