插值相关总结
多项式插值
$$\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{{x_0}}&{x_0^2}& \cdots &{x_0^n}&{}\\
1&{{x_1}}&{x_1^2}& \cdots &{x_1^n}&{}\\
{}& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdot \\
1&{{x_n}}&{x_n^2}& \cdots &{x_n^n}&{}
\end{array}} \right|{\rm{ }}! = {\rm{ 0}}$$
拉格朗日插值
1779年英国数学家爱德华·华林于最早发现拉格朗日插值法。不久后1783年,由莱昂哈德·欧拉再次发现。直到1795年,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法。
$${l_i}(x) = \frac{{\left( {x - {x_0}} \right) \cdots \left( {x - {x_{i - 1}}} \right)\left( {x - {x_{i + 1}}} \right) \cdots \left( {x - {x_n}} \right)}}{{\left( {{x_i} - {x_0}} \right) \cdots \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)\left( {{x_i} - {x_{i + 1}}} \right) \cdots \left( {{x_i} - {x_n}} \right)}} = \prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{j = 0}\\
{j \ne i}
\end{array}}^n {\frac{{x - {x_j}}}{{{x_i} - {x_j}}}} ,\quad (i = 0,1, \cdots ,n)$$
注:$\frac{{x - {x_j}}}{{{x_i} - {x_j}}}$就是求解$p(x)$的$n+1$个基函数。如果对推导过程感兴趣,参考链接里有,很简单的。
$${l_i}\left( {{x_j}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
0&{j \ne i}\\
1&{j = i}
\end{array}} \right.$$
令
$${L_n}(x) = \sum\limits_{i = 0}^n {{y_i}} {l_i}(x) = \sum\limits_{i = 0}^n {{y_i}} \left( {\prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{j = 0}\\
{j = i}
\end{array}}^n {\frac{{x - {x_j}}}{{{x_i} - {x_j}}}} } \right)$$
这就是$n$次的拉格朗日插值多项式,且$n+1$的$n$次拉格朗日插值多项式是惟一的。
function [ yi ] = lagrange_interp (X,Y,xi) n=length(X); %得到已知数据长度 m=length(xi); %得到待插值数据长度 yi=zeros(size(xi)); for j=1:m %待插值数据有m个,计算每个插值结果 for i=1:n %已知的n个数据构造中间值 temp=1; %temp用于存储中间值 for k=1:n if(i~=k) %和自身标号相同的不相乘 temp=temp*(xi(j)-X(k))/(X(i)-X(k)); end end yi(j)=Y(i)*temp+yi(j); end end end
牛顿插值
1. 差商
2. 牛顿插值公式
function yi=newton_interp(X,Y,xi) syms t; %定义自变量t,用于字符公式 if(length(X)==length(Y)) n=length(X); c(1:n)=0.0; else disp('X和Y的维数不相等!'); return; end f=Y(1); %f用来记录得到的牛顿插值公式的字符串表达式 l=1; for i=1:n-1 y1=zeros(1,n-i); for j=i+1:n y1(j)=(Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i)); end c(i)=y1(i+1); %c记录差分 l=l*(t-X(i)); %l记录(x-x0)(x-x1)……的值 f=f+c(i)*l; %累加得到差分公式 Y=y1; end f=simplify(f); %简化得到的牛顿插值公式 m=length(xi); %开始输出 for i=1:m yi(i)=subs(f,'t',xi(i)); % 根据公式计算需要的值 end yi=double(yi); % 转换为数值型,为返回值 end
对比拉格朗日插值法:与拉格朗日插值法相比,牛顿插值法增加节点时,不需要重新计算,在某些情景下比拉格朗日插值法更好用,而且在计算余项时,牛顿插值的余项由于不需要导数,故$f(x)$是由离散点或者导数不存在时仍然适用,这是拉格朗日余项计算所不能比拟的。差商与导数的关系为:$$f\left[x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n !}$$其中,$\xi \in(\alpha, \beta), \alpha=\min _{0 \leq i \leq n}\left\{x_{i}\right\}, \beta=\max _{0 \leq i \leq n}\left\{x_{i}\right\}$
泰勒插值
埃尔米特插值
不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等,而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。
这意味着,拟合曲线与实际曲线不仅都过点$\left(x_{i}, y_{i}\right),\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)$,而且两点处还有相同的切线。
设在节点$a \leq x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leq b$上,$y_{j}=f\left(x_{j}\right)$,$m_{j}=f^{\prime}\left(x_{j}\right) \quad(j=0,1, \cdots, n)$
即满足条件:$H\left(x_{j}\right)=y_{j}, \quad H^{\prime}\left(x_{j}\right)=m_{j}, \quad(j=0,1, \cdots, n)$
这里共有$2n+2$个插值条件,可唯一确定一个次数不超过$2n+1$的多项式$H_{2 n+1}(x)=H(x)$,其形式为:
$$H_{2 n+1}(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{2 n+1} x^{2 n+1}$$
采用拉格朗日插值多项式的基函数方法的思想:
先求出$2n+2$个插值基函数,每个基函数都是$2n+1$次多项式,且满足条件:
$$\begin{array}{l}{\alpha_{j}\left(x_{k}\right)=\delta_{j k}=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {j \neq k} \\ {1,} & {j=k}\end{array}, \quad \alpha_{j}^{\prime}\left(x_{k}\right)=0\right.} \\ {\beta_{j}\left(x_{k}\right)=0, \quad \beta_{j}^{\prime}\left(x_{k}\right)=\delta_{j k} \quad(j, k=0,1, \cdots, n)}\end{array}$$
用基函数表示插值多项式:
$$H_{2 n+1}(x)=\sum_{j=0}^{n}\left[y_{j} \alpha_{j}(x)+m_{j} \beta_{j}(x)\right]$$
由插值基函数所满足的条件,有$H_{2 n+1}\left(x_{k}\right)=y_{k}, \quad H_{2 n+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)=m_{k}, \quad(k=0,1, \cdots, n)$
然后求出基函数$\alpha_{j}(x)$与$\beta_{j}(x)$
利用拉格朗日插值基函数$l_{j}(x)$,
令$\alpha_{j}(x)=(a x+b) l_{j}^{2}(x)$
得到
$$\begin{array}{l}{\alpha_{j}\left(x_{j}\right)=\left(a x_{j}+b\right) l_{j}^{2}\left(x_{j}\right)=1} \\ {\alpha_{j}^{\prime}\left(x_{j}\right)=l_{j}\left(x_{j}\right)\left[a l_{j}\left(x_{j}\right)+2\left(a x_{j}+b\right) l_{j}^{\prime}\left(x_{j}\right)\right]=0}\end{array}$$
整理得
$$\left\{\begin{array}{l}{a x_{j}+b=1} \\ {a+2 l_{j}^{\prime}\left(x_{j}\right)=0}\end{array}\right.$$
解出
$$a=-2 l_{j}^{\prime}\left(x_{j}\right), \quad b=1+2 x_{j} l_{j}^{\prime}\left(x_{j}\right)$$
由于
$$l_{j}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right) \cdots\left(x-x_{j-1}\right)\left(x-x_{j+1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{j}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{j}-x_{j-1}\right)\left(x_{j}-x_{j+1}\right) \cdots\left(x_{j}-x_{n}\right)}$$
两边取对数再求导,得
$$l_{j}^{\prime}\left(x_{j}\right)=\sum_{k=0 \atop k \neq j}^{n} \frac{1}{x_{j}-x_{k}}$$
于是,
$$\alpha_{j}(x)=\left(1-2\left(x-x_{j}\right) \sum_{k=0 \atop k \neq j}^{n} \frac{1}{x_{j}-x_{k}}\right) l_{j}^{2}(x)$$
同理,得到
$$\beta_{j}(x)=\left(x-x_{j}\right) l_{j}^{2}(x)$$
综上所述,埃尔米特插值多项式为:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{H_{2n + 1}}(x) = \sum\limits_{j = 0}^n {\left[ {{y_j}{\alpha _j}(x) + {m_j}{\beta _j}(x)} \right]} }\\
{{y_j} = f\left( {{x_j}} \right),{m_j} = {f^\prime }\left( {{x_j}} \right)}\\
{{\alpha _j}(x) = \left( {1 - 2\left( {x - {x_j}} \right)\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{{x_j} - {x_k}}}} } \right)l_j^2(x),k \ne j}\\
{{\beta _j}(x) = \left( {x - {x_j}} \right)l_j^2(x)}
\end{array}} \right..$$
仿照拉格朗日插值余项的证明方法,得到埃尔米特插值余项:
$$R(x)=f(x)-H_{2 n+1}(x)=\frac{f^{(2 n+2)}(\xi)}{(2 n+2) !} \omega_{n+1}^{2}(x)$$
$n$取1时,是一个非常重要的特例,即两点三次埃尔米特插值,比较典型和常用(4个基函数均为三次多项式,$n=1$)
插值基函数满足条件:
$$\begin{array}{l}{\alpha_{k}\left(x_{k}\right)=1, \quad \alpha_{k}\left(x_{k+1}\right)=0, \quad \alpha_{k}^{\prime}\left(x_{k}\right)=\alpha_{k}^{\prime}\left(x_{k+1}\right)=0} \\ {\alpha_{k+1}\left(x_{k}\right)=0, \quad \alpha_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=1, \quad \alpha_{k+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)=\alpha_{k+1}^{\prime}\left(x_{k+1}\right)=0} \\ {\beta_{k}\left(x_{k}\right)=\beta_{k}\left(x_{k+1}\right)=0, \beta_{k}^{\prime}\left(x_{k}\right)=1, \quad \beta_{k}^{\prime}\left(x_{k+1}\right)=0} \\ {\beta_{k+1}\left(x_{k}\right)=\beta_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=0, \beta_{k+1}\left(x_{k}\right)=0, \quad \beta_{k+1}^{\prime}\left(x_{k+1}\right)=1}\end{array}$$
两点三次埃尔米特插值多项式为:
$$H_{3}(x)=y_{k} \alpha_{k}(x)+y_{k+1} \alpha_{k+1}(x)+m_{k} \beta_{k}(x)+m_{k+1} \beta_{k+1}(x)$$
余项为:
$$R_{3}(x)=\frac{1}{4 !} f^{(4)}(\xi)\left(x-x_{k}\right)^{2}\left(x-x_{k+1}\right)^{2}, \quad \xi \in\left(x_{k}, x_{k+1}\right)$$
function y-hermite(x0,y0,y1,x); %x0,y0为样本点数据,y1为导数指,m个插值点以数组x输入,输出数组y为m个插值 n=length(x0);
m=length(x); for k=1:m; yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=i:n if j~=i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x0(k))*(2*a*y0(i)-y(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end
分段插值
分段线性插值
$${l_i}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x - {x_{i - 1}}}}{{{x_i} - {x_{i - 1}}}},}&{x \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]{\rm{ }}i = 0}\\
{\frac{{x - {x_{i + 1}}}}{{{x_i} - {x_{i + 1}}}},}&{x \in \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]{\rm{ }}i = n}\\
{0,}&{else}
\end{array}{\rm{ }}} \right.$$
MATLAB:
method:
nearest | 最近项插值 |
linear | 线性插值 |
spline | 逐段3次样条插值 |
cubic | 保凹凸性3次插值 |
n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=interp1(x0, y0, x);%interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序 plot(x, z, 'r', x, y, 'k:', x, y1, 'r') gtext('Piece. –linear.'), gtext('y=1/(1+x^2)') title('Piecewise Linear')
分段三次埃尔米特插值
根据两点三次埃尔米特插值多项式,得到${I_h}(x)$在$\left[x_{k}, x_{k+1}\right]$的表达式为:
若在整个区间$[a, b]$上定义一组分段三次插值基函数$\alpha_{j}(x)$及$\beta_{j}(x)$,$(j=0,1, \cdots, n)$,则$I_{h}(x)$可表示为:
$${\alpha _j}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {\frac{{x - {x_{j - 1}}}}{{{x_j} - {x_{j - 1}}}}} \right)}^2}\left( {1 + 2\frac{{x - {x_j}}}{{{x_{j - 1}} - {x_j}}}} \right){x_{j - 1}} \le x \le {x_j}}\\
\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{x - {x_{j + 1}}}}{{{x_j} - {x_{j + 1}}}}} \right)^2}\left( {1 + 2\frac{{x - {x_j}}}{{{x_{j + 1}} - {x_j}}}} \right){x_j} \le x \le {x_{j + 1}}\\
{\rm{ }}0
\end{array}
\end{array}} \right.$$
$${\beta _j}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {\frac{{x - {x_{j - 1}}}}{{{x_j} - {x_{j - 1}}}}} \right)}^2}\left( {x - {x_j}} \right){x_{j - 1}} \le x \le {x_j}}\\
\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{x - {x_{j + 1}}}}{{{x_j} - {x_{j + 1}}}}} \right)^2}\left( {x - {x_j}} \right){x_j} \le x \le {x_{j + 1}}\\
{\rm{ }}0
\end{array}
\end{array}} \right.$$
MATLAB:来自官方文档 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/pchip.html
spline
和 pchip
为两个不同函数生成的插值结果进行比较。x = -3:3; y = [-1 -1 -1 0 1 1 1]; xq1 = -3:.01:3; p = pchip(x,y,xq1); %分段三次埃尔米特插值 s = spline(x,y,xq1); %逐段3次样条插值
plot(x,y,'o',xq1,p,'-',xq1,s,'-.')
legend('Sample Points','pchip','spline','Location','SouthEast')
三次样条插值
分段插值的优点是误差小,稳定性高,但是曲线的光滑性不好,而许多实际问题需要插值曲线有较高阶的整体光滑性,理论上是可以使用高次埃尔米特插值或分段高次埃尔米特插值,但是必须知道每一个点的导数是不现实的。所以,样条插值诞生了。理论推导参考:https://www.cnblogs.com/duye/p/8671820.html1、y=interp1(${x_0}$,${y_0}$,$x$,'spline');
% spline改成linear,则变成线性插值
2、y=spline(${x_0}$,${y_0}$,$x$);
% 这个是根据己知的x,y数据,用样条函数插值出${x_i}$处的值。
% 由己知的x,y数据,求出它的样条函数表达式,不过该表达式不是用矩阵直接表示,要求点x`的值,要用函数
3、pp=csape(x,y,conds); y=ppval(pp,$x$);
% 各种边界条件的三次样条插值
conds是指边界条件,边界类型可为:
①'complete': 给定边界一阶导数,默认的边界条件
②'not-a-knot':非扭结条件,不用给边界值.
③'periodic': 周期性边界条件,不用给边界值.
④'second': 给定边界二阶导数.
⑤'variational': 自然样条(边界二阶导数为[0,0]。
clear clc x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; t=0:0.05:15; y1=spline(x0,y0,t); dy1=(spline(x0,y0,0.0001)-spline(x0,y0,0))/0.0001%x=0处斜率 min1=min(spline(x0,y0,13:0.001:15))%13到15最小值 figure plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线 title('三次样条插值');
二维插值
网络节点插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
x0,y0是节点坐标(分别为行向量和列向量);
z0是节点的值;
method和前面所述相同。
$x$,$y$为插值点坐标,$z$为函数值。
如果是三次样条插值
pp=csape({x0,y0},z0,conds)
z=fnval(pp,{x,y})
“conds”与一维相同,一般默认。
clear clc x=100:100:400; y=100:100:400; z=[636,697,624,478; 712,630,478,420; 674,598,412,400; 626,552,334,310]; pp=csape({x,y},z'); %z矩阵的行列对应向量x,y xi=100:10:500; yi=100:10:400; cz1=fnval(pp,{xi,yi}); cz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline'); [i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) subplot(1,2,1); surf(xi,yi,cz1'); shading interp; %插入颜色插值 axis equal; title('cz1'); subplot(1,2,2); surf(xi,yi,cz2); shading interp; axis equal; title('cz2');
散乱节点插值
zi=griddata(x,y,z,xi,yi)
clear clc %样本点信息 x=[129,140,103.5,88,185.5,95,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5]; y=[7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5]; z=-[4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9]; xi=75:200; yi=-50:150; zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic'); subplot(1,2,1); plot(x,y,'*'); title('xy'); subplot(1,2,2); mesh(xi,yi,zi); shading interp; axis equal; title('xyz');
上一篇: [科学计算]插值理论
下一篇: 多项式插值
推荐阅读
-
数学建模算法与应用》 第 5 章 插值和拟合方法
-
拉格朗日插值法
-
使用C语言实现RGB图像缩放的双线性插值算法
-
牛顿法、BFGS、L-BFGS:PyTorch优化器全面总结(第三部分)及其相关代码
-
插补速度与平滑处理的小技巧总结
-
线性、Sine和震荡插值:理解不同的方法
-
梳理与总结:大流量/小割值算法详解
-
如何轻松使用JMeter进行HTTP接口测试 - 一步步教你设置线程组、 cookie、默认值与Sampler,加上响应断言和监听器,打造基础测试案例。针对复杂情况,将子系统和流程测试分类组织,确保数据一致性。同时,别忘了感谢阅读,给新手提供实战学习资源与全套测试指南,助你轻松踏上自动化测试之路! - 在"测试计划"点击右键,添加"线程组"并设定初始"线程数"和"循环次数" - 配置"HTTP Cookie管理器"与"Http请求默认值",输入目标系统信息,如域名、端口、协议等,让所有相关Sampler共享这些默认设置 - 在线程组内增加"HTTP Request"的Sampler,并填入接口详情,比如路径、请求方法及参数 - 添加"响应断言"检查接口返回结果,通过正则表达式验证预期结果 - 安装监听器,实时查看测试执行状况 - 如需处理流程性接口,请依次添加多个相关Sampler,关联前后请求间的上下文数据 特别提示:为了帮助大家避免学习中的曲折,我们准备了详尽的视频和文档资料库,无论你是软件测试的新手还是老司机,都能从中找到所需的全方位支持。只需点击下方链接加入我们的学习交流社群,就能立刻获取这份珍贵的学习宝藏!再次感谢您的耐心阅读,愿它成为您前行路上的一大助力!
-
基于反距离加权的插值技术
-
SSM三大框架基础面试题-一、Spring篇 什么是Spring框架? Spring是一种轻量级框架,提高开发人员的开发效率以及系统的可维护性。 我们一般说的Spring框架就是Spring Framework,它是很多模块的集合,使用这些模块可以很方便地协助我们进行开发。这些模块是核心容器、数据访问/集成、Web、AOP(面向切面编程)、工具、消息和测试模块。比如Core Container中的Core组件是Spring所有组件的核心,Beans组件和Context组件是实现IOC和DI的基础,AOP组件用来实现面向切面编程。 Spring的6个特征: 核心技术:依赖注入(DI),AOP,事件(Events),资源,i18n,验证,数据绑定,类型转换,SpEL。 测试:模拟对象,TestContext框架,Spring MVC测试,WebTestClient。 数据访问:事务,DAO支持,JDBC,ORM,编组XML。 Web支持:Spring MVC和Spring WebFlux Web框架。 集成:远程处理,JMS,JCA,JMX,电子邮件,任务,调度,缓存。 语言:Kotlin,Groovy,动态语言。 列举一些重要的Spring模块? Spring Core:核心,可以说Spring其他所有的功能都依赖于该类库。主要提供IOC和DI功能。 Spring Aspects:该模块为与AspectJ的集成提供支持。 Spring AOP:提供面向切面的编程实现。 Spring JDBC:Java数据库连接。 Spring JMS:Java消息服务。 Spring ORM:用于支持Hibernate等ORM工具。 Spring Web:为创建Web应用程序提供支持。 Spring Test:提供了对JUnit和TestNG测试的支持。 谈谈自己对于Spring IOC和AOP的理解 IOC(Inversion Of Controll,控制反转)是一种设计思想: 在程序中手动创建对象的控制权,交由给Spring框架来管理。IOC在其他语言中也有应用,并非Spring特有。IOC容器实际上就是一个Map(key, value),Map中存放的是各种对象。 将对象之间的相互依赖关系交给IOC容器来管理,并由IOC容器完成对象的注入。这样可以很大程度上简化应用的开发,把应用从复杂的依赖关系中解放出来。IOC容器就像是一个工厂一样,当我们需要创建一个对象的时候,只需要配置好配置文件/注解即可,完全不用考虑对象是如何被创建出来的。在实际项目中一个Service类可能由几百甚至上千个类作为它的底层,假如我们需要实例化这个Service,可能要每次都搞清楚这个Service所有底层类的构造函数,这可能会把人逼疯。如果利用IOC的话,你只需要配置好,然后在需要的地方引用就行了,大大增加了项目的可维护性且降低了开发难度。 Spring中的bean的作用域有哪些? 1.singleton:该bean实例为单例 2.prototype:每次请求都会创建一个新的bean实例(多例)。 3.request:每一次HTTP请求都会产生一个新的bean,该bean仅在当前HTTP request内有效。 4.session:每一次HTTP请求都会产生一个新的bean,该bean仅在当前HTTP session内有效。 5.global-session:全局session作用域,仅仅在基于Portlet的Web应用中才有意义,Spring5中已经没有了。Portlet是能够生成语义代码(例如HTML)片段的小型Java Web插件。它们基于Portlet容器,可以像Servlet一样处理HTTP请求。但是与Servlet不同,每个Portlet都有不同的会话。 Spring中的单例bean的线程安全问题了解吗? 概念用于理解:大部分时候我们并没有在系统中使用多线程,所以很少有人会关注这个问题。单例bean存在线程问题,主要是因为当多个线程操作同一个对象的时候,对这个对象的非静态成员变量的写操作会存在线程安全问题。 有两种常见的解决方案(用于回答的点): 1.在bean对象中尽量避免定义可变的成员变量(不太现实)。 2.在类中定义一个ThreadLocal成员变量,将需要的可变成员变量保存在ThreadLocal(线程本地化对象)中(推荐的一种方式)。 ThreadLocal解决多线程变量共享问题(参考博客):https://segmentfault.com/a/1190000009236777 Spring中Bean的生命周期: 1.Bean容器找到配置文件中Spring Bean的定义。 2.Bean容器利用Java Reflection API创建一个Bean的实例。 3.如果涉及到一些属性值,利用set方法设置一些属性值。 4.如果Bean实现了BeanNameAware接口,调用setBeanName方法,传入Bean的名字。 5.如果Bean实现了BeanClassLoaderAware接口,调用setBeanClassLoader方法,传入ClassLoader对象的实例。 6.如果Bean实现了BeanFactoryAware接口,调用setBeanClassFacotory方法,传入ClassLoader对象的实例。 7.与上面的类似,如果实现了其他*Aware接口,就调用相应的方法。 8.如果有和加载这个Bean的Spring容器相关的BeanPostProcessor对象,执postProcessBeforeInitialization方法。 9.如果Bean实现了InitializingBean接口,执行afeterPropertiesSet方法。 10.如果Bean在配置文件中的定义包含init-method属性,执行指定的方法。 11.如果有和加载这个Bean的Spring容器相关的BeanPostProcess对象,执行postProcessAfterInitialization方法。 12.当要销毁Bean的时候,如果Bean实现了DisposableBean接口,执行destroy方法。 13.当要销毁Bean的时候,如果Bean在配置文件中的定义包含destroy-method属性,执行指定的方法。 Spring框架中用到了哪些设计模式? 1.工厂设计模式:Spring使用工厂模式通过BeanFactory和ApplicationContext创建bean对象。 2.代理设计模式:Spring AOP功能的实现。 3.单例设计模式:Spring中的bean默认都是单例的。 4.模板方法模式:Spring中的jdbcTemplate、hibernateTemplate等以Template结尾的对数据库操作的类,它们就使用到了模板模式。 5.包装器设计模式:我们的项目需要连接多个数据库,而且不同的客户在每次访问中根据需要会去访问不同的数据库。这种模式让我们可以根据客户的需求能够动态切换不同的数据源。 6.观察者模式:Spring事件驱动模型就是观察者模式很经典的一个应用。 7.适配器模式:Spring AOP的增强或通知(Advice)使用到了适配器模式、Spring MVC中也是用到了适配器模式适配Controller。 还有很多。。。。。。。 @Component和@Bean的区别是什么 1.作用对象不同。@Component注解作用于类,而@Bean注解作用于方法。 2.@Component注解通常是通过类路径扫描来自动侦测以及自动装配到Spring容器中(我们可以使用@ComponentScan注解定义要扫描的路径)。@Bean注解通常是在标有该注解的方法中定义产生这个bean,告诉Spring这是某个类的实例,当我需要用它的时候还给我。 3.@Bean注解比@Component注解的自定义性更强,而且很多地方只能通过@Bean注解来注册bean。比如当引用第三方库的类需要装配到Spring容器的时候,就只能通过@Bean注解来实现。 @Configuration public class AppConfig { @Bean public TransferService transferService { return new TransferServiceImpl; } } <beans> <bean id="transferService" class="com.kk.TransferServiceImpl"/> </beans> @Bean public OneService getService(status) { case (status) { when 1: return new serviceImpl1; when 2: return new serviceImpl2; when 3: return new serviceImpl3; } } 将一个类声明为Spring的bean的注解有哪些? 声明bean的注解: @Component 组件,没有明确的角色 @Service 在业务逻辑层使用(service层) @Repository 在数据访问层使用(dao层) @Controller 在展现层使用,控制器的声明 注入bean的注解: @Autowired:由Spring提供 @Inject:由JSR-330提供 @Resource:由JSR-250提供 *扩:JSR 是 java 规范标准 Spring事务管理的方式有几种? 1.编程式事务:在代码中硬编码(不推荐使用)。 2.声明式事务:在配置文件中配置(推荐使用),分为基于XML的声明式事务和基于注解的声明式事务。 Spring事务中的隔离级别有哪几种? 在TransactionDefinition接口中定义了五个表示隔离级别的常量:ISOLATION_DEFAULT:使用后端数据库默认的隔离级别,Mysql默认采用的REPEATABLE_READ隔离级别;Oracle默认采用的READ_COMMITTED隔离级别。ISOLATION_READ_UNCOMMITTED:最低的隔离级别,允许读取尚未提交的数据变更,可能会导致脏读、幻读或不可重复读。ISOLATION_READ_COMMITTED:允许读取并发事务已经提交的数据,可以阻止脏读,但是幻读或不可重复读仍有可能发生ISOLATION_REPEATABLE_READ:对同一字段的多次读取结果都是一致的,除非数据是被本身事务自己所修改,可以阻止脏读和不可重复读,但幻读仍有可能发生。ISOLATION_SERIALIZABLE:最高的隔离级别,完全服从ACID的隔离级别。所有的事务依次逐个执行,这样事务之间就完全不可能产生干扰,也就是说,该级别可以防止脏读、不可重复读以及幻读。但是这将严重影响程序的性能。通常情况下也不会用到该级别。 Spring事务中有哪几种事务传播行为? 在TransactionDefinition接口中定义了八个表示事务传播行为的常量。 支持当前事务的情况:PROPAGATION_REQUIRED:如果当前存在事务,则加入该事务;如果当前没有事务,则创建一个新的事务。PROPAGATION_SUPPORTS: 如果当前存在事务,则加入该事务;如果当前没有事务,则以非事务的方式继续运行。PROPAGATION_MANDATORY: 如果当前存在事务,则加入该事务;如果当前没有事务,则抛出异常。(mandatory:强制性)。 不支持当前事务的情况:PROPAGATION_REQUIRES_NEW: 创建一个新的事务,如果当前存在事务,则把当前事务挂起。PROPAGATION_NOT_SUPPORTED: 以非事务方式运行,如果当前存在事务,则把当前事务挂起。PROPAGATION_NEVER: 以非事务方式运行,如果当前存在事务,则抛出异常。 其他情况:PROPAGATION_NESTED: 如果当前存在事务,则创建一个事务作为当前事务的嵌套事务来运行;如果当前没有事务,则该取值等价于PROPAGATION_REQUIRED。 二、SpringMVC篇 什么是Spring MVC ?简单介绍下你对springMVC的理解? Spring MVC是一个基于Java的实现了MVC设计模式的请求驱动类型的轻量级Web框架,通过把Model,View,Controller分离,将web层进行职责解耦,把复杂的web应用分成逻辑清晰的几部分,简化开发,减少出错,方便组内开发人员之间的配合。 Spring MVC的工作原理了解嘛? image.png Springmvc的优点: (1)可以支持各种视图技术,而不仅仅局限于JSP; (2)与Spring框架集成(如IoC容器、AOP等); (3)清晰的角色分配:前端控制器(dispatcherServlet) , 请求到处理器映射(handlerMapping), 处理器适配器(HandlerAdapter), 视图解析器(ViewResolver)。 (4) 支持各种请求资源的映射策略。 Spring MVC的主要组件? (1)前端控制器 DispatcherServlet(不需要程序员开发) 作用:接收请求、响应结果,相当于转发器,有了DispatcherServlet 就减少了其它组件之间的耦合度。 (2)处理器映射器HandlerMapping(不需要程序员开发) 作用:根据请求的URL来查找Handler (3)处理器适配器HandlerAdapter 注意:在编写Handler的时候要按照HandlerAdapter要求的规则去编写,这样适配器HandlerAdapter才可以正确的去执行Handler。 (4)处理器Handler(需要程序员开发) (5)视图解析器 ViewResolver(不需要程序员开发) 作用:进行视图的解析,根据视图逻辑名解析成真正的视图(view) (6)视图View(需要程序员开发jsp) View是一个接口, 它的实现类支持不同的视图类型(jsp,freemarker,pdf等等) springMVC和struts2的区别有哪些? (1)springmvc的入口是一个servlet即前端控制器(DispatchServlet),而struts2入口是一个filter过虑器(StrutsPrepareAndExecuteFilter)。 (2)springmvc是基于方法开发(一个url对应一个方法),请求参数传递到方法的形参,可以设计为单例或多例(建议单例),struts2是基于类开发,传递参数是通过类的属性,只能设计为多例。 (3)Struts采用值栈存储请求和响应的数据,通过OGNL存取数据,springmvc通过参数解析器是将request请求内容解析,并给方法形参赋值,将数据和视图封装成ModelAndView对象,最后又将ModelAndView中的模型数据通过reques域传输到页面。Jsp视图解析器默认使用jstl。 SpringMVC怎么样设定重定向和转发的? (1)转发:在返回值前面加"forward:",譬如"forward:user.do?name=method4" (2)重定向:在返回值前面加"redirect:",譬如"redirect:http://www.baidu.com" SpringMvc怎么和AJAX相互调用的? 通过Jackson框架就可以把Java里面的对象直接转化成Js可以识别的Json对象。具体步骤如下 : (1)加入Jackson.jar (2)在配置文件中配置json的映射 (3)在接受Ajax方法里面可以直接返回Object,List等,但方法前面要加上@ResponseBody注解。 如何解决POST请求中文乱码问题,GET的又如何处理呢? (1)解决post请求乱码问题: 在web.xml中配置一个CharacterEncodingFilter过滤器,设置成utf-8; <filter> <filter-name>CharacterEncodingFilter</filter-name> <filter-class>org.springframework.web.filter.CharacterEncodingFilter</filter-class> <init-param> <param-name>encoding</param-name> <param-value>utf-8</param-value> </init-param> </filter> <filter-mapping> <filter-name>CharacterEncodingFilter</filter-name> <url-pattern>/*</url-pattern> </filter-mapping> (2)get请求中文参数出现乱码解决方法有两个: ①修改tomcat配置文件添加编码与工程编码一致,如下: <ConnectorURIEncoding="utf-8" connectionTimeout="20000" port="8080" protocol="HTTP/1.1" redirectPort="8443"/> ②另外一种方法对参数进行重新编码: String userName = new String(request.getParamter("userName").getBytes("ISO8859-1"),"utf-8") ISO8859-1是tomcat默认编码,需要将tomcat编码后的内容按utf-8编码。 Spring MVC的异常处理 ? 统一异常处理: Spring MVC处理异常有3种方式: (1)使用Spring MVC提供的简单异常处理器SimpleMappingExceptionResolver; (2)实现Spring的异常处理接口HandlerExceptionResolver 自定义自己的异常处理器; (3)使用@ExceptionHandler注解实现异常处理; 统一异常处理的博客:https://blog.csdn.net/ctwy291314/article/details/81983103 SpringMVC的控制器是不是单例模式,如果是,有什么问题,怎么解决? 是单例模式,所以在多线程访问的时候有线程安全问题,不要用同步,会影响性能的,解决方案是在控制器里面不能写成员变量。(此题目类似于上面Spring 中 第5题 有两种解决方案) SpringMVC常用的注解有哪些? @RequestMapping:用于处理请求 url 映射的注解,可用于类或方法上。用于类上,则表示类中的所有响应请求的方法都是以该地址作为父路径。 @RequestBody:注解实现接收http请求的json数据,将json转换为java对象。 @ResponseBody:注解实现将conreoller方法返回对象转化为json对象响应给客户。 SpingMvc中的控制器的注解一般用那个,有没有别的注解可以替代? 一般用@Controller注解,也可以使用@RestController,@RestController注解相当于@ResponseBody + @Controller,表示是表现层,除此之外,一般不用别的注解代替。 如果在拦截请求中,我想拦截get方式提交的方法,怎么配置? 可以在@RequestMapping注解里面加上method=RequestMethod.GET。 怎样在方法里面得到Request,或者Session? 直接在方法的形参中声明request,SpringMVC就自动把request对象传入。 如果想在拦截的方法里面得到从前台传入的参数,怎么得到? 直接在形参里面声明这个参数就可以,但必须名字和传过来的参数一样。 如果前台有很多个参数传入,并且这些参数都是一个对象的,那么怎么样快速得到这个对象? 直接在方法中声明这个对象,SpringMVC就自动会把属性赋值到这个对象里面。 SpringMVC中函数的返回值是什么? 返回值可以有很多类型,有String, ModelAndView。ModelAndView类把视图和数据都合并的一起的。 SpringMVC用什么对象从后台向前台传递数据的? 通过ModelMap对象,可以在这个对象里面调用put方法,把对象加到里面,前台就可以拿到数据。 怎么样把ModelMap里面的数据放入Session里面? 可以在类上面加上@SessionAttributes注解,里面包含的字符串就是要放入session里面的key。 SpringMvc里面拦截器是怎么写的: 有两种写法,一种是实现HandlerInterceptor接口,另外一种是继承适配器类,接着在接口方法当中,实现处理逻辑;然后在SpringMvc的配置文件中配置拦截器即可: <!-- 配置SpringMvc的拦截器 --> <mvc:interceptors> <!-- 配置一个拦截器的Bean就可以了 默认是对所有请求都拦截 --> <bean id="myInterceptor" class="com.zwp.action.MyHandlerInterceptor"></bean> <!-- 只针对部分请求拦截 --> <mvc:interceptor> <mvc:mapping path="/modelMap.do" /> <bean class="com.zwp.action.MyHandlerInterceptorAdapter" /> </mvc:interceptor> </mvc:interceptors> 注解原理: 注解本质是一个继承了Annotation的特殊接口,其具体实现类是Java运行时生成的动态代理类。我们通过反射获取注解时,返回的是Java运行时生成的动态代理对象。通过代理对象调用自定义注解的方法,会最终调用AnnotationInvocationHandler的invoke方法。该方法会从memberValues这个Map中索引出对应的值。而memberValues的来源是Java常量池 三、Mybatis篇 什么是MyBatis? MyBatis是一个可以自定义SQL、存储过程和高级映射的持久层框架。 讲下MyBatis的缓存 MyBatis的缓存分为一级缓存和二级缓存,一级缓存放在session里面,默认就有, 二级缓存放在它的命名空间里,默认是不打开的,使用二级缓存属性类需要实现Serializable序列化接口, 可在它的映射文件中配置<cache/> Mybatis是如何进行分页的?分页插件的原理是什么? 1)Mybatis使用RowBounds对象进行分页,也可以直接编写sql实现分页,也可以使用Mybatis的分页插件。 2)分页插件的原理:实现Mybatis提供的接口,实现自定义插件,在插件的拦截方法内拦截待执行的sql,然后重写sql。 举例:select * from student,拦截sql后重写为:select t.* from (select * from student)t limit 0,10 简述Mybatis的插件运行原理,以及如何编写一个插件? 1)Mybatis仅可以编写针对ParameterHandler、ResultSetHandler、StatementHandler、 Executor这4种接口的插件,Mybatis通过动态代理, 为需要拦截的接口生成代理对象以实现接口方法拦截功能, 每当执行这4种接口对象的方法时,就会进入拦截方法, 具体就是InvocationHandler的invoke方法,当然, 只会拦截那些你指定需要拦截的方法。 2)实现Mybatis的Interceptor接口并复写intercept方法, 然后在给插件编写注解,指定要拦截哪一个接口的哪些方法即可, 记住,别忘了在配置文件中配置你编写的插件。 Mybatis动态sql是做什么的?都有哪些动态sql?能简述一下动态sql的执行原理不? 1)Mybatis动态sql可以让我们在Xml映射文件内, 以标签的形式编写动态sql,完成逻辑判断和动态拼接sql的功能。 2)Mybatis提供了9种动态sql标签:trim|where|set|foreach|if|choose|when|otherwise|bind。 3)其执行原理为,使用OGNL从sql参数对象中计算表达式的值, 根据表达式的值动态拼接sql,以此来完成动态sql的功能。 #{}和${}的区别是什么? 1)#{}是预编译处理,${}是字符串替换。 2)Mybatis在处理#{}时,会将sql中的#{}替换为?号,调用PreparedStatement的set方法来赋值(有效的防止SQL注入); 3)Mybatis在处理${}时,就是把${}替换成变量的值。 为什么说Mybatis是半自动ORM映射工具?它与全自动的区别在哪里? Hibernate属于全自动ORM映射工具, 使用Hibernate查询关联对象或者关联集合对象时, 可以根据对象关系模型直接获取,所以它是全自动的。 而Mybatis在查询关联对象或关联集合对象时, 需要手动编写sql来完成,所以,称之为半自动ORM映射工具。 Mybatis是否支持延迟加载?如果支持,它的实现原理是什么? 1)Mybatis仅支持association关联对象和collection关联集合对象的延迟加载, association指的就是一对一,collection指的就是一对多查询。 在Mybatis配置文件中, 可以配置是否启用延迟加载lazyLoadingEnabled=true|false。 2)它的原理是,使用CGLIB创建目标对象的代理对象, 当调用目标方法时,进入拦截器方法, 比如调用a.getB.getName, 拦截器invoke方法发现a.getB是null值, 那么就会单独发送事先保存好的查询关联B对象的sql, 把B查询上来,然后调用a.setB(b), 于是a的对象b属性就有值了, 接着完成a.getB.getName方法的调用。 这就是延迟加载的基本原理。 MyBatis与Hibernate有哪些不同? 1)Mybatis和hibernate不同,它不完全是一个ORM框架, 因为MyBatis需要程序员自己编写Sql语句, 不过mybatis可以通过XML或注解方式灵活配置要运行的sql语句, 并将java对象和sql语句映射生成最终执行的sql, 最后将sql执行的结果再映射生成java对象。 2)Mybatis学习门槛低,简单易学,程序员直接编写原生态sql, 可严格控制sql执行性能,灵活度高,非常适合对关系数据模型要求不高的软件开发, 例如互联网软件、企业运营类软件等,因为这类软件需求变化频繁, 一但需求变化要求成果输出迅速。但是灵活的前提是mybatis无法做到数据库无关性, 如果需要实现支持多种数据库的软件则需要自定义多套sql映射文件,工作量大。 3)Hibernate对象/关系映射能力强,数据库无关性好, 对于关系模型要求高的软件(例如需求固定的定制化软件) 如果用hibernate开发可以节省很多代码,提高效率。 但是Hibernate的缺点是学习门槛高,要精通门槛更高, 而且怎么设计O/R映射,在性能和对象模型之间如何权衡, 以及怎样用好Hibernate需要具有很强的经验和能力才行。 总之,按照用户的需求在有限的资源环境下只要能做出维护性、 扩展性良好的软件架构都是好架构,所以框架只有适合才是最好。 MyBatis的好处是什么? 1)MyBatis把sql语句从Java源程序中独立出来,放在单独的XML文件中编写, 给程序的维护带来了很大便利。 2)MyBatis封装了底层JDBC API的调用细节,并能自动将结果集转换成Java Bean对象, 大大简化了Java数据库编程的重复工作。 3)因为MyBatis需要程序员自己去编写sql语句, 程序员可以结合数据库自身的特点灵活控制sql语句, 因此能够实现比Hibernate等全自动orm框架更高的查询效率,能够完成复杂查询。 简述Mybatis的Xml映射文件和Mybatis内部数据结构之间的映射关系? Mybatis将所有Xml配置信息都封装到All-In-One重量级对象Configuration内部。 在Xml映射文件中,<parameterMap>标签会被解析为ParameterMap对象, 其每个子元素会被解析为ParameterMapping对象。 <resultMap>标签会被解析为ResultMap对象, 其每个子元素会被解析为ResultMapping对象。 每一个<select>、<insert>、<update>、<delete> 标签均会被解析为MappedStatement对象, 标签内的sql会被解析为BoundSql对象。 什么是MyBatis的接口绑定,有什么好处? 接口映射就是在MyBatis中任意定义接口,然后把接口里面的方法和SQL语句绑定, 我们直接调用接口方法就可以,这样比起原来了SqlSession提供的方法我们可以有更加灵活的选择和设置. 接口绑定有几种实现方式,分别是怎么实现的? 接口绑定有两种实现方式,一种是通过注解绑定,就是在接口的方法上面加 上@Select@Update等注解里面包含Sql语句来绑定, 另外一种就是通过xml里面写SQL来绑定,在这种情况下, 要指定xml映射文件里面的namespace必须为接口的全路径名. 什么情况下用注解绑定,什么情况下用xml绑定? 当Sql语句比较简单时候,用注解绑定;当SQL语句比较复杂时候,用xml绑定,一般用xml绑定的比较多 MyBatis实现一对一有几种方式?具体怎么操作的? 有联合查询和嵌套查询,联合查询是几个表联合查询,只查询一次, 通过在resultMap里面配置association节点配置一对一的类就可以完成; 嵌套查询是先查一个表,根据这个表里面的结果的外键id, 去再另外一个表里面查询数据,也是通过association配置, 但另外一个表的查询通过select属性配置。 Mybatis能执行一对一、一对多的关联查询吗?都有哪些实现方式,以及它们之间的区别? 能,Mybatis不仅可以执行一对一、一对多的关联查询, 还可以执行多对一,多对多的关联查询,多对一查询, 其实就是一对一查询,只需要把selectOne修改为selectList即可; 多对多查询,其实就是一对多查询,只需要把selectOne修改为selectList即可。 关联对象查询,有两种实现方式,一种是单独发送一个sql去查询关联对象, 赋给主对象,然后返回主对象。另一种是使用嵌套查询,嵌套查询的含义为使用join查询, 一部分列是A对象的属性值,另外一部分列是关联对象B的属性值, 好处是只发一个sql查询,就可以把主对象和其关联对象查出来。 MyBatis里面的动态Sql是怎么设定的?用什么语法? MyBatis里面的动态Sql一般是通过if节点来实现,通过OGNL语法来实现, 但是如果要写的完整,必须配合where,trim节点,where节点是判断包含节点有 内容就插入where,否则不插入,trim节点是用来判断如果动态语句是以and 或or 开始,那么会自动把这个and或者or取掉。 Mybatis是如何将sql执行结果封装为目标对象并返回的?都有哪些映射形式? 第一种是使用<resultMap>标签,逐一定义列名和对象属性名之间的映射关系。 第二种是使用sql列的别名功能,将列别名书写为对象属性名, 比如T_NAME AS NAME,对象属性名一般是name,小写, 但是列名不区分大小写,Mybatis会忽略列名大小写,