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第一重要极限的推导

最编程 2024-06-30 22:40:31
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第二重要极限证明:https://www.cnblogs.com/Preparing/p/16576649.html



\[证明极限\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1 \]

\[\\ \\ \]

\[设∠AOB=x(0<x<\frac{π}{2}) \\ \because △AOB面积 < 扇形AOB面积 < △AOD面积 \\ \]

\[\Rightarrow \frac{sinx\cdot r\cdot r}{2} < \frac{xπr^{2}}{2π} <\frac{tanx\cdot r\cdot r}{2} \]

\[\\ \\ \]

\[约去\frac{1}{2}和r^{2}: sinx < x < tanx \\ 除以sinx: 1<\frac{x}{sinx}<\frac{tanx}{sinx}\\ =1<\frac{x}{sinx}<\frac{1}{cosx} \\ 将不等式中每个数都变为倒数,原大小关系会变向:1>\frac{sinx}{x}>cosx \\ =cosx<\frac{sinx}{x}<1 \]

\[\\ \\ \]

\[\because cosx为偶函数[cosx=cos(-x)]\\ 而\frac{sinx}{x}=\frac{sin(-x)}{-x} \\ \therefore 不等式在x \in [-\frac{π}{2}, 0) 照样成立 \]

\[\\ \\ \]

\[\therefore cosx<\frac{sinx}{x}<1的定义域:x\in[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}],x\ne0 \]

\[\\ \\ \]

\[\because \lim_{x\to 0}cosx=1,再由迫敛定理,得出: \lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1 \]

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