两个重要极限定理的推导

最编程 2024-06-30 22:39:18

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两个重要极限定理：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1}$
和
$\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2}$

引理(夹逼定理)

定义一：

如果数列 $\lbrace X_n \rbrace$ ， $\lbrace Y_n \rbrace$ 及 $\lbrace Z_n \rbrace$ ，满足下列条件：

(1) 当 $n > N_0$ 时，其中 $N_0 \in N^*$ ，有 $Y_n \le X_n \le Z_n$ ，

(2) $\lbrace Y_n\rbrace$ ， $\lbrace Z_n \rbrace$ 有相同的极限 $a$ ，设 $\infty < a < + \infty$ ，则，数列 $\lbrace X_n \rbrace$ 的极限存在，且
$\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = a$
定义二：

$F (x)$ 与 $G (x)$ 在 $X_0$ 连续且存在相同的极限 $A$ ，即 $\rightarrow X_0$ 时， $\lim F(x) = \lim G(x) = A$ ，则

若有函数在 $f (x)$ 在 $X_0$ 的某领域内恒有 $\le f(x) \le G(x)$ ，则当 $X$ 趋近 $X_0$ ，有
$\lim F(x) \le \lim f(x) \le lim G(x)$
即
$\le lim f(x) \le A$
故
$lim(X_0) = A$
简单地说：函数 $A > B$ ，函数 $B > C$ ，函数 $A$ 的极限是 $X$ ，函数 $C$ 的极限也是 $X$ ，那么函数 $B$ 的极限就一定是 $X$ ，这个就是夹逼定理。

定理 1 证明：

在这里插入图片描述

如上图，对于弧 $\mathop{AC}\limits^{\frown}$ ，由于半径 $1$ ，所以，弧 $\mathop{AC}\limits^{\frown}$ 长 $x$ 。图片很直观地看出 $\sin x \le x \le \tan x$ ，并在 $\rightarrow 0$ 的时候，他们都"相等"。这个是几何直观的，如果我们假设化曲为直是可行的。

所以，

由上述公式，
$\sin x \le x \le tan x \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{\tan x}{\sin x} \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}$
由上式取倒数得：
$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$
因为，
$\lim_{x \rightarrow 0} \cos x = 1$
所以，

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