机器学习，梯度下降算法中的数学原理

今天讲解的内容是梯度下降算法中的数学原理。其中包括导数、多元函数、偏导数和梯度。接下来我们逐一进行讲解。

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导数

首先来看导数。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

例如，图1表示赛跑时，运动员的速度v随时间t变化的曲线。如果希望得到速度变化的快慢，需要画出加速度a随时间t变化的曲线。速度变化越快，加速度越大，速度变化越慢，加速度越小。

具体的，前5秒速度增加的快，加速度就大，5秒到10秒之间，速度基本不变，加速度趋近于0，最后几秒冲刺，速度随着时间增加而变大，加速度也随之变大。这里加速度a就等于速度v对时间t的求导，也是速度v随时间t变化的曲线上的变化率。

这样的例子还有很多。

例如，速度描述一段时间内路程变化的快慢，即速度是路程对时间的导数。功率描述一段时间内做功的快慢，即功率是功对时间的导数。导数计算有很多公式，这里只讲解梯度下降算法中使用到的幂函数求导公式。

 y等于x的阿尔法次方的导数是阿尔法乘x的阿尔法减1次方。Y对x求导记做y’ (读作y撇)，也可以写成dy/dx (读作y对x的微分)。

例如，y=x的平方的导数是2x，y=x的3次方的导数是3倍的x平方，y=x的导数是1，y=常数C的导数是0。

如果函数有系数，求导时先忽略系数，求导之后再乘系数即可。例如y=3x^2的导数是3乘以2x等于6x。

如果函数是多项式，求导时分别对每一项求导，每一项之间的符号不变。例如函数y=3x^3-2x^2+x+6，对每一项求导，结果是9x^2- 4x+1。

关于导数的几何意义，函数在某点的导数是该点处切线的斜率。例如函数y=x^2，导数为2x，当x=1时，导数值为2。即在（1，1）处的切线斜率为2。

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多元函数

再来看多元函数。回顾最开始提出的问题，已知房屋的面积，估计成交价格。这里价格只取决于面积，面积为自变量，价格为因变量。因变量的值只取决于一个自变量的函数，称为一元函数。y=x^2，y=2x^2+x+1，这些都是一元函数。

在表示一元函数时，一般写成f(x)，g(x)的形式，其中f和g表示对应关系。

实际情况中，决定某件事情的因素可能不止一个。

例如，除了面积，价格可能还依赖于地理位置、交通等因素。所以这些因素也可以成为自变量。自变量不止一个的函数被称为多元函数。通常我们用f(x, y, z)或g(x, y)等形式表示多元函数，例如，f(x, y, z)=xy+yz+zx是一个三元函数，g(x, y)=x^2+y^2是一个二元函数。

一元函数的图像可以在平面直角坐标系中表示，x表示自变量，y表示因变量。二元函数的图像需要有三个坐标轴，x轴和y轴表示两个自变量，z轴表示因变量。每一对自变量x、y都对应一个因变量z，是空间中的一个点。将这些点连接起来是一个曲面。图中表示了f(x, y)=x^2+y^2的图像。

那么多元函数的导数如何来求呢?这就引出了偏导数。

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偏导数

导数是函数值关于自变量的变化率，多元函数中有多个自变量，关于某个自变量的变化率就是多元函数对这个自变量的偏导数。

例如，房价和面积，地理位置和交通三个因素相关，那么当地理位置和交相通时，价格关于面积的变化率就是价格对面积的偏导数，使用符号∂f(x,y,z)/∂x.表示多元函数（x,y,z）对自变量x的偏导数。那么，y和z的偏导数可以表示为∂f(x,y,z)/∂y和∂f(x,y,z)/∂z。

计算关于某个变量的偏导数时，将其他变量看作常数，按照求导法则计算该变量的导数。

例如，二元函数f(x,y)=x^2+ y^2+2xy+3y。计算关于x的偏导数时，将y看作常数，对x求导。其中，x^2的导数是2x，2xy的导数是2y，y^2+3y是常数，导数是0，所以结果为2x+2y。求y的偏导数时，将x看作常数，对y求导，结果是2y+2x+3。

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梯度 

最后来看梯度的概念和计算方法。函数在某一点处沿着不同的方向运动，函数值的变化率是不同的。梯度可以定义为一个函数的全部偏导数构成的向量，梯度向量的方向是函数值变化率最大的方向。也就是对于函数的某个特定点，它的梯度就表示从该点出发，函数值变化最为迅猛的方向。

使用符号▽表示某个函数的梯度。二元函数f(x, y)，梯度是对x、y求偏导组成的二维向量。

三元函数g(x, y, z)，梯度为对x，y，z求偏导组成的三维向量。n元函数f(θ1，θ2，…，θn) ，梯度是分别对n个自变量求偏导构成的n维向量。

例如，二元函数f(x, y）=x^2+y^2，梯度是 (2x, 2y)，那么在点(1, 1)处的梯度向量为(2, 2)，在点(1, 1)处沿该向量变化，函数值变化最快。

为方便观察，画出xOy平面，在点(1，1)位置，函数值为1的平方+1的平方=2。如果按照向量(-1, 0)的方向移动1个单位，到达(0，1) ，函数值为0^2+1^2=1，比f(1, 1)减小1。换一个方向，按照向量(1，0)的方向移动1，到达(2，1)，函数值为2^2+1^2=5，比f(1, 1)增加3。

按照梯度方向(2, 2)移动1，大约到达(1.7，1.7)，函数值为1.7^2 + 1.7^2 = 5.78，比f(1, 1)增加3.78。所以按照梯度方向移动，函数增长的最迅猛。

至此，梯度下降算法的数学原理就讲完了，我们下节课再见。喜欢动画讲编程的小伙伴，一定要三连加关注哦！你们的支持是动画讲编程课程研发团队最大的动力！