高斯单位制 (II)

最编程 2024-07-11 09:32:48

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我写这个系列文章的目的一来是为了搞清楚高斯单位制，二来也是打算复习一下经典电磁学。所以之后的一系列文章都会是在高斯单位制下所做的一系列推导。高斯单位制的定义，在第一篇已经明确了。之后的公式，默认都是在高斯单位制下的，但是对于理解高斯单位制，或许意义不大。

麦克斯韦方程组

上一篇文章已经求出了静电场和静磁场的方程
$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla \times \vec{E} &= 0 \\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j} \\ \end{aligned}$
对于真空电磁场理论来说，还差一个电与磁之间的相互感应。首先是法拉第电磁感应定律：任意闭合回路上产生的电动势等于此闭合回路围成的曲面上的的磁通量的变化率。不过，比起国际单位制的公式
$\oint_L\vec{E}d\vec{l} = -\dfrac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S} \qquad // \text{SI制}$
我们知道高斯单位制下，电场和磁场量纲是一样的，所以上式还差一个速度量纲，在高斯单位制下，电磁感应定律应该写成
$\oint_L\vec{E}d\vec{L} = -\dfrac{d}{cdt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$
因为电磁感应定律本来就是实验定律，所以也不存在怎么推导出来的。总之，上式是正确的。微分形式
$\nabla \times \vec{E} = -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
然后是麦克斯韦对于电场变化感应出磁场推测，参考我上课老师自己的讲义，这样理解：对于非静磁场， $\nabla \times \vec{j} = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0$ ，然而根据 $\nabla\times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}\vec{j}$ ，有 $\nabla \cdot \vec{j}=0$ ，所以可以做一个修改
$\nabla\times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}(\vec{j} + \vec{j}_D)$
其中 $\vec{j}_D$ 称为位移电流，于是
$\nabla \cdot (\vec{j} + \vec{j}_D) = 0$
另一方面，根据电荷守恒 $\nabla \cdot j = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$ ，以及 $\nabla \cdot \vec{E} = 4\pi \rho$ ，于是有
$\nabla \cdot (\vec{j}_D-\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}) = 0$
猜测（虽然是猜测，只要实验验证过得去就行了）
$\vec{j}_D = \dfrac{1}{4\pi} \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}$
于是磁感应强度的散度变为
$\nabla \times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}\vec{j} + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}$
现在，真空电磁场的麦克斯韦方程组搞定了
$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0 \\ \nabla\times\vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c}\vec{j} + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{aligned}$
最后，在加上洛伦兹力公式，就可以做动力学了，这应该也是一个实验公式
$\vec{F} = q(\vec{E} + \dfrac{1}{c}\vec{v}\times\vec{E})$
当然，至少量纲是对的。

介质的电磁性质

真空之后，就是介质的电磁学了。

介质极化

介质分子在各种作用下，具有电偶极矩 $\vec{p}_i$ ，定义极化强度
$\vec{P} = \dfrac{\sum_i\vec{p}_i}{\Delta V}$
极化强度和束缚电荷密度 $\rho_p$ 有如下关系：
$\rho_p = -\nabla\cdot\vec{P},\quad \text{或积分形式}\quad \int_V\rho_pdV = -\oint_S\vec{P}\cdot d\vec{S}$
这是因为，对于一个闭合曲面， $\vec{P}\cdot d\vec{S} = \rho_p \vec{l} \cdot d\vec{S}$ 可以看成偶极子部分伸出这个闭合曲面带来的电量损失，根据电荷守恒，就有了这个式子。

设*电荷密度为 $\rho_f$ ，那么电场散度
$\nabla\cdot\vec{E} = 4\pi (\rho_f+\rho_p)$
定义电位移矢量
$\vec{D} = \vec{E} + 4\pi \vec{P}$
根据 $\rho_p$ 和 $\vec{P}$ 的关系代入，则有
$\nabla \cdot \vec{D} = 4\pi\rho_f$
定义介质极化率 $\chi_e$
$\vec{P} = \chi_e\vec{E}$
以及介电函数 $\epsilon$
$\vec{D} = \epsilon\vec{E}$
于是有
$\epsilon = 1 + 4\pi\chi_e$
(这个极化率总觉得怪怪的，还是SI制的极化率看上去舒服一点。)

介质磁化

同样，在各种作用下，介质分子具有磁矩 $\vec{m}_i=\dfrac{1}{c}i\vec{a}$ ，这里的磁矩定义和SI制不同，但是是严格的，具体是如何定义的，还请看之后关于磁场作用力的文章，如果我能写到那里的话。定义磁化强度
$\vec{M} = \dfrac{\sum_i\vec{m}_i}{\Delta V}$
这些分子分子电流在宏观上形成剩余电流，称为磁化电流。磁化电流密度 $\vec{j}_M$ 与磁化强度 $\vec{M}$ 有关系
$I_M = \int_S \vec{j}_M\cdot d\vec{S} = \oint_L c\vec{M} \cdot d\vec{l}$
这是因为，可以考虑曲面 $S$ ，计算通过的磁化电流 $I_M$ ，另一方面，磁化强度可以看成一些分子电流小线圈 $c\vec{M} = ni\vec{a}$ ，只有挂在曲面边界上的线圈才对总电流有贡献。微分形式是
$\nabla\times\vec{M} = \dfrac{1}{c}\vec{j}_M$
此外，除了磁化电流，介质中还有极化电荷随时间变化产生的极化电流密度 $\vec{j}_p$
$\vec{P} = \dfrac{\sum_i e_i\vec{r}_i}{\Delta V},\qquad \vec{j}_p = \dfrac{\sum_ie_i\dot{\vec{r}}_i}{\Delta V} = \dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t}$
于是磁场的散度方程变为
$\nabla\times\vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}（\vec{j}_f+\vec{j}_M+\vec{j}_p） + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
定义磁场强度
$\vec{H} = \vec{B}-4\pi\vec{M}$
于是有
$\nabla\times\vec{H} = \dfrac{4\pi}{c}\vec{j}_f + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}$
定义磁化率 $\chi_m$
$\vec{M} = \chi_m\vec{H}$
磁导率 $\mu$
$\vec{B} = \mu\vec{H}$
于是有
$\mu = 1 + 4\pi\chi_m$
综上所述，介质中的麦克斯韦方程组为
$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{D} &= 4\pi\rho_f \\ \nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0 \\ \nabla\times\vec{H} &= \dfrac{4\pi}{c}\vec{j}_f + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{aligned}$
以及一些关系
$\begin{aligned} \vec{D} &= \epsilon \vec{E} \\ \vec{P} &= \chi_e \vec{E} \\ \epsilon &= 1 + 4\pi \chi_e \\ \vec{B} &= \mu \vec{H} \\ \vec{M} &= \chi_m \vec{H} \\ \mu &= 1 + 4\pi\chi_m \end{aligned}$