深入理解原码、反码和补码的基本概念与区别
机器数和真值
机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号,正数为 0,负数为 1。
比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为 8 位,转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ,就是 10000011。这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
真值
因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位 1 代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值 131(10000011 转换成十进制等于 131)。为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
原码、反码、补码的基础概念和计算方法
原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。比如如果是 8 位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
-1]原 = 1000 0001
因为第一位是符号位,所以 8 位二进制数的取值范围就是:[1111 1111 , 0111 1111]
,即[-127 , 127]
。
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
反码
- 正数的反码是其本身。
- 负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。
下面是一个例子:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值,通常要将其转换成原码再计算。
补码
- 正数的补码就是其本身。
- 负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后 + 1。(即在反码的基础上 + 1)
下面是一个例子:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的,通常也需要转换成原码再计算其数值。
原码、反码、补码的由来
人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减。但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单。计算机辨别” 符号位” 显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1 - 1 = 1 + (-1) = 0
。因此,机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。
原码:
正数 |
正数(原码) |
负数 |
负数(原码) |
---|---|---|---|
0 |
0000 |
0 |
1000 |
1 |
0001 |
-1 |
1001 |
2 |
0010 |
-2 |
1010 |
3 |
0011 |
-3 |
1011 |
4 |
0100 |
-4 |
1100 |
5 |
0101 |
-5 |
1101 |
6 |
0110 |
-6 |
1110 |
7 |
0111 |
-7 |
1111 |
我们希望 + 1 和 - 1 相加是 0,但计算机只能算出0001+1001=1010 (-2)
。
为了解决 “正负相加等于 0” 的问题,在 “原码” 的基础上,人们发明了 “反码”:
正数 |
正数(反码) |
负数 |
负数(反码) |
---|---|---|---|
0 |
0000 |
0 |
1111 |
1 |
0001 |
-1 |
1110 |
2 |
0010 |
-2 |
1101 |
3 |
0011 |
-3 |
1100 |
4 |
0100 |
-4 |
1011 |
5 |
0101 |
-5 |
1010 |
6 |
0110 |
-6 |
1001 |
7 |
0111 |
-7 |
1000 |
“原码” 变成 “反码” 时,完美的解决了 “正负相加等于 0” 的问题,过去的 + 1 和 - 1 相加,变成了0001+1101=1111
,刚好反码表示方式中,1111 象征 - 0。
人们总是进益求精,历史遗留下来的问题 —— 有两个零存在,+0 和 -0。我们希望只有一个 0,所以发明了” 补码”,同样是针对” 负数” 做处理的。从原来” 反码” 的基础上,补充一个新的代码,(+1)。
正数 |
正数(补码) |
负数 |
负数(补码) |
---|---|---|---|
0 |
0000 |
0 |
0000 |
1 |
0001 |
-1 |
1111 |
2 |
0010 |
-2 |
1110 |
3 |
0011 |
-3 |
1101 |
4 |
0100 |
-4 |
1100 |
5 |
0101 |
-5 |
1011 |
6 |
0110 |
-6 |
1010 |
7 |
0111 |
-7 |
1001 |
-8 |
1000 |
有得必有失,在补一位 1 的时候,要丢掉最高位。我们要处理” 反码” 中的”-0”,当 1111 再补上一个 1 之后,变成了 10000,丢掉最高位就是 0000,刚好和左边正数的 0 完美融合。这样就解决了 + 0 和 - 0 同时存在的问题。
另外” 正负数相加等于 0” 的问题,同样得到满足,举例,3 和(-3)相加,0011 + 1101 =10000
,丢掉最高位,就是 0000(0)。
以上就是” 补码” 的存在方式。
上一篇: 原始编码、反转编码与补偿编码详解
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