原码和补码的单位位乘法详解
原码1位乘法
在定点计算机中,两个原码表示的数相乘的运算规则是:乘积的符号位由两数的符号按异或运算得到。而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。设n位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也相同适用)
被乘数 [x]原 = xf .x0 x1 x2 … xn
乘数 [y]原 = yf .y0 y1 y2 … yn
则
乘积 [ z ]原 = ( xf⊕yf ) . (0. x0 x1 x2 …xn)(0 . y1 y2 …yn)
式中,xf为被乘数符号。yf为乘数符号。
乘积符号的运算法则是:同号相乘为正,异号相乘为负。因为被乘数和乘数和符号组合仅仅有四种情况(xf yf = 00,01,10,11),因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。
数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法相类似。只是对于用二进制表达的数来说,其乘法规则更为简单一些:从乘法y的最低位開始。若这一位为“1”。则将被乘数x写下;若这一位为“0”,则写下全0。然后再对乘数y的高一位进行的乘法运算,其规则同上,只是这一位乘数的权与最低位乘数的权不一样。因此被乘数x要左移一位。依次类推。直到乘数各位乘完为止。最后将它们统统加起来。便得到最后乘积z 。
补码1位乘法
原码乘法的主要问题是符号位不能參加运算,单独用一个异或门产生乘积的符号位。
故自然提出是否能让符号数字化后也參加乘法运算,补码乘法就能够实现符号位直接參加运算。
设被乘数 [x]补 = x0.x1x2…xn 和乘数 [y]补 = y0.y1y2…yn 均为随意符号,则有补码乘法算式
[ x · y ]补 = [x]补 · ( - y0 + ∑ yi * 2^-i )
为了推出串行逻辑实现人分步算法,将上式展开加以变换:
[x·y]补 = [x]补·[ - y0 + y1^2-1 + y2^2-2 + … + yn^2-n]
= [x]补·[ - y0 + (y1 - y1^2-1) + (y2^2-1 - y2^2-2) + … + (yn^2-(n-1) - yn^2-n)]
= [x]补·[(y1 - y0) + (y2 - y1) ^2-1 + … + (yn - yn-1) 2^-(n-1) + (0 - yn)^2-n]
= [x]补· (yn+1 = 0)
补码一位乘法运算规则
(1) 假设 yn = yn+1,部分积 [ zi ] 加0。再右移一位;
(2) 假设 yn yn+1 = 01。部分积加[ x ]补。再右移一位;
(3) 假设 yn yn+1 = 10,部分积加[ - x]补,再右移一位;
这样反复进行 n+1 步,但最后一步不移位。包含一位符号位,所得乘积为 2n+1 位,当中 n 为尾数位数。
上一篇: 定点乘法原理
下一篇: 原始编码下的乘法计算详解图解
推荐阅读
-
原码和补码的单位位乘法详解
-
原码和补码的单位位乘法详解
-
原码和补码的单位位乘法详解
-
理解并实现Booth算法:补码形式下的一位乘法计算详解与步骤推导
-
电脑原码、反码和补码的基本概念:数学运算与常用位操作技巧详解
-
原码与补码的单位位乘法详解
-
用原码一位乘法和补码一位乘法计算x*y
-
计算机里的正负数编码方式:原码、反码与补码详解,以及位操作的基础理解
-
深入理解原码、反码和补码的详解教程
-
数的机器码表示:原码、反码、补码、变形补码、移码和浮点数编码-数学定义:例:+111的原码为0111,-101的原码为1101 (2) 纯小数的原码表示 纯小数的原码首位同样为符号位,后面的数值则表示小数的尾数,纯小数的整数位为默认为0无需表示。 例:+0.111的原码为0111,-0.101的原码为1101 可以看到,+111和+0.111的原码同为0111,这是因为约定的小数点位置不同,整数的原码的小数点约定在末尾,纯小数的原码的小数点约定在数值的最前面,这样通过约定小数点的位置来表示数的方法就称为定点数表示法,约定小数点位置实际上就是约定编码中每一位的权重。 二、反码 正数的反码与其原码相同。 负数的反码是其对应原码的符号位不变,数值位按位取反。 数学定义:例: 真值 +111 -101 +0.111 -0.101 原码 0111 1101 0111 1101 反码 0111 1010 0111 1010 三、补码 原码虽然转换很简单,但是在做减法时操作很复杂(减不够还要借位),因此计算机在做加负数操作时会先将负数的原码转换为补码再做加法。 先举个栗子,假设时钟现在是9点钟,我把时针往回拨3个小时是6点钟,或者顺时针往后拨9个小时还是6点钟,也就是说9-3的结果等同于9+9(mod 12),对于模数12,-3的补码为+9,这就引申出了一种将减法转换为加法的思想,把减去一个正数视为加上一个负数(例如9+(-3)),再将负数转换为对应的补码,最后就可以和补码做加法了,若结果超出了模数则丢弃一个模数即可。 如图所示:9减去灰色的部分(-3)就等同于加上蓝色的部分,即-3的补码即为蓝色部分的长度9(mod 12)。即补码=模数+真值(超出模数则舍弃一个模数) (1) 整数的补码表示 对于一个n位的二进制真值x,则取模数为2^(n+1),若x为正数则补码和原码相同(加上一个模数又需舍弃一个模数 故相同),若为负数则补码为模数加上x。相对于原码,补码这里的首位就不仅代表原数真值的符号了,也是补码自己的一个数值位。 取模数为2^(n+1)是因为在需要舍弃模数时只需要舍弃运算结果(二进制数)的最高位即可,这在计算机中很容易实现 数学定义:例:三位二进制数的模数2^4就是10000,故+111的补码为0111(即10000 + 111 = 0111 (舍弃模数位)),-101的补码为1011(即10000 - 101 = 1011) 补码运算示例:那么+111 - 101 = +111 + (-101) = 0111 + 1011 = 10010,运算结果只保留后四位(即舍弃模数位),故计算结果为0010。这样就通过加法实现了减法运算。 补码可表示数据范围:由数学定义可知,n位二进制补码可表示的数据范围为 -2n-1~2n-1-1。以8位的byte类型数为例,可表示的数据范围为 -27~27-1,即-128至+127,最小负数-128(补码:1000 0000),最大负数-1(补码:1111 1111),0(补码:0000 0000),最小正数1(补码:0000 0001),最大正数127(补码:0111 1111)。 由补码求真值:正数的补码即为原码即为真值,负数的真值由计算规则可知 负数真值= - (模数 - 补码),以补码1111 1111为例,其真值 = - (1 0000 0000 - 1111 1111) = - 0000 0001 = -1 (2) 纯小数的补码表示 对于一个纯小数x,则取模数为2^1,正数的补码和原码相同,负数的补码为模数2加上x。同样补码的首位不仅代表原数真值的符号,也是补码的数值位。 数学定义:例:纯小数的模数2就是10,故+0.111的补码为0111,-0.101的补码为1011(小数点约定在符号位后) 计算机中求补码的规则 可以注意到求负数的补码时还是要做减法,这在计算机中就很不方便了,但是通过其数学定义可以看到无论是整数还是纯小数,负数的补码都等于反码的末尾加1,而这又等同于原码数值位从右向左遇到第一个1后,这个1左边的数值位都按位取反,故实际计算机中求补码的规则如下:正数的补码等于原码负数的补码等于原码的数值位从右向左的第一个1左边的所有数值位按位取反(例:byte类型值-6的原码为1000 0110,则其补码为1111 1010) 四、变形补码 两个补码在运算时可能会溢出从而产生错误的结果,比如0111+0101 = 1100,两个正数相加反而得到了一个负数,那么在计算机中要如何判断运算结果是否溢出了呢,这就引申出了变形补码。从直观上看,相对于补码来说变形补码就是用两位来表示符号位,00表示正数,11表示负数。运算结果符号位为01表示正溢出,10表示负溢出。