10.12 Python 数学基础 - 矩阵（下） - 10.平方矩阵的决定因素

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵
$$|A^T|=|A|$$

$$|kA|=k^n|A|$$

$$|-A|=(-1{)}^n|A|$$

$$|AB|=|A||B|$$

$$|A^m|=|A{|}^m$$

$$|E|=1$$

例子

1.有矩阵A
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right)$$
求|2A|和|A|A

解：
$$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right|=3\times (-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 5\end{array}\right|=15$$
则
$$det(2A)=2^{3}det(A)=120$$

$$det(A)A=15A=15\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}15& 30& 0\\ 0& 45& 0\\ -15& 60& 75\end{array}\right)$$

2.A为n阶方阵，|A|=3，求
$$||A|A^T|=?$$
解：
$$||A|A^T|=|A{|}^n|A^T|=|A{|}^{n+1}=3^{n+1}$$