标准球 标准锥

1. Norm Ball（范数球）

Norm ball（范数球）是指由特定范数约束下的一组点所形成的区域。假设我们有一个向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 和某种范数 $\Vert \cdot \Vert$，那么一个以原点为中心、半径为 $r$​ 的范数球可以定义为：
B r = { x ∈ R n : ∥ x ∥ ≤ r } B_r = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| \leq r\} Br​={x∈Rn:∥x∥≤r}
其中：

• $\Vert x\Vert$ 表示向量 $x$ 的范数。
• $r$ 是范数球的半径。

不同的范数会导致不同形状的范数球。例如：

(a) ${\ell }_2$ 范数（欧几里得范数）

对于 ${\ell }_2$ 范数（即欧几里得范数），范数球是圆形或球形的，公式为：
B r ℓ 2 = { x ∈ R n : ∥ x ∥ 2 = ( ∑ i = 1 n x i 2 ) 1 / 2 ≤ r } B_r^{\ell_2} = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2} \leq r\} Brℓ2​​={x∈Rn:∥x∥2​=(i=1∑n​xi2​)1/2≤r}
在二维情况下，范数球是一个圆形；在三维情况下，它是一个球。

(b) ${\ell }_1$ 范数

对于${\ell }_1$​ 范数，范数球呈菱形，定义为：
B r ℓ 1 = { x ∈ R n : ∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ≤ r } B_r^{\ell_1} = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| \leq r\} Brℓ1​​={x∈Rn:∥x∥1​=i=1∑n​∣xi​∣≤r}
在二维情况下，它是一个菱形；在三维情况下，它看起来像一个菱形截断体（diamond shape）。

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例：在二维空间中（即${\mathbb{R}}^2$），向量 $x$ 有两个分量 $x_1$ 和$x_2$，此时 ${\ell }_1$​ 范数的定义为：
$$\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$$
范数球的定义是满足以下条件的所有点的集合：
$$|x_1|+|x_2|\le r$$
我们可以通过一些典型的边界点来理解这个几何形状。假设半径$r=1$，我们考虑以下几种极端情况：

1. 如果 $x_1=1$，则 $x_2=0$；
2. 如果 $x_1=-1$，则 $x_2=0$；
3. 如果 $x_2=1$，则 $x_1=0$；
4. 如果 $x_2=-1$，则 $x_1=0$。

因此，这些点包括：

• $(1,0)$
• $(-1,0)$
• $(0,1)$
• $(0,-1)$

如果我们把这些点画出来，它们在二维坐标系上正好是一个菱形的四个顶点。这是因为对于${\ell }_1$ 范数的范数球来说，向量的坐标和不能超过给定的半径，这种限制形成了一个菱形。

因此，二维空间中的 ${\ell }_1$​ 范数球实际上就是这个菱形。

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在三维情况下的几何解释：

在三维空间中（即 ${\mathbb{R}}^3$），我们有三个分量$x_1$、$x_2$、$x_3$，范数球的定义变成：
$$|x_1|+|x_2|+|x_3|\le r$$
在三维空间中，这个集合会形成一个菱形截断体，类似一个三维钻石形状的多面体。因为在每个维度上，我们都用绝对值相加，所以当你把这些点在三维空间中描绘出来时，结果是一个对称的多面体，它看起来像一个“钻石”形状。

( C) ${\ell }_{\infty }$ 范数

对于 ${\ell }_{\infty }$范数，范数球是一个超立方体（cube），定义为：
B r ℓ