薄板样条插值(Thin Plate Spline)

前言

本文是笔者阅读[1]过程中，遇到了关于Thin Plate Spline[5]相关的知识，因而查找若干资料学习后得到的一些笔记，本文主要参考[2,3,4]，希望对大家有所帮助。 如有谬误，请联系指出，转载请联系作者并注明出处。

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薄板样条插值

薄板样条插值（Thin Plate Spline,TPS）是插值方法的一种，是常用的2D插值方法。假如给定两张图片中一些相互对应的控制点，如何将其中一个图片进行特定的形变，使得其控制点可以与另一张图片的控制点重合，如Fig 1.1所示。当然，提供插值的方法也特别的多，TPS是其中一种技术，其有着一个基本假设

如果用一个薄钢板（只是一个比喻）的形变来模拟这种2D形变，在确保所有控制点能够尽可能匹配的情况下，怎么样才能使得钢板的弯曲量最小。

几乎所有的生物有关的形变都是可以用TPS来近似，因此TPS也经常被用于脸部关键点形变等相关的应用[1]。

为了描述整个插值过程，按照我们刚才所说的，需要定义两个项，一个是拟合项${\mathcal{E}}_{\Phi }$，测量将源点变形后距离目标点的大小；第二个是扭曲项${\mathcal{E}}_d$，测量曲面的扭曲大小。那么有总的损失函数：
$$\mathcal{E}={\mathcal{E}}_{\Phi }+\lambda {\mathcal{E}}_d\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中的$\lambda$为权值系数，控制允许非刚体形变发生的程度，不同的$\lambda$对于整个拟合效果的影响如Fig 1.2所示。

其中有：
$${\mathcal{E}}_{\Phi }=\sum _{i=1}^N||\Phi (p_i)-q_i|{|}^2\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

$${\mathcal{E}}_d=\int {\int }_{{\mathbb{R}}^2}\left(\right(\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\mathrm{x}}^2}{)}^2+2(\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}}{)}^2+(\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\mathrm{y}}^2}{)}^2{)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

其中的$N$为控制点的数量，式子(1.2)很容易理解，是源目标经过形变函数$\Phi$之后和目标之间的距离；而式子(1.3)是曲面扭曲的能量函数，由文献[6]中给出，最小化式子(1.1)的结果，可以推导出形变函数的唯一闭式解结果为：
$$\Phi (p)=\mathbf{M}\cdot p+m_0+\sum _{i=1}^N{\omega }_{i}U(||p-p_i||)\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
其中$p$为曲面上的任意一个点，有$p=(x,y{)}^{\mathrm{T}}$，$p_i$是对应域的控制点，而$\mathbf{M}=(m_1,m_2)$，而这里的$U(\cdot )$为径向基函数，表示某个曲面上的点的变形会受到所有控制点变形的影响（当然，不同控制点的影响程度不一样），有
$$U(x)=r^2\log r\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
而${\omega }_i$表示对不同径向基的加权。如Fig 1.3所示，如果我们假设每个控制点都对应一个高度，也就是$(x_i,y_i)\to v_i$，也就是说控制点是三维空间坐标系中的自变量，而其高度是因变量，那么我们可以再继续分析式子(1.4)中的第一项和第二项。

我们发现第一项其实是尝试用一个平面$y=\mathbf{M}\cdot p+m_0$去拟合所有的目标控制点，当然这个拟合肯定不够好，因此用第二项尝试在该平面的基础上去弯曲（当然是尽可能小的弯曲），从而达到更好的拟合效果，如Fig 1.3所示。此时有未知参数$\mathbf{M}\in {\mathbb{R}}^2,m_0\in \mathbb{R}$，和${\omega }_i,i\in [1,N]$，因此一共有$1+2+N$个参数，其中$D=2$是维度，$N$是控制点数目。

我们为了求解形式一般化，用以下矩阵代表之前谈到的数值，有：
P = [ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n y n ] (1.6) \mathbf{P} = \left[ \begin{matrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & y_n \end{matrix} \right] \tag{1.6} P=⎣⎢⎢⎢⎡​11⋮1​