微分数值法:计算多项式函数的导数实例
最编程
2024-02-06 12:48:29
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在数值积分推导辛普森公式时就是将函数插值成为多项式形式,原因在于多项式的简洁。任何初等函数都可以用泰勒公式展开成多项式的形式,然后在多项式的基础上作求导运算。也可以用别的插值方法,比如拉格朗日插值,样条插值,埃尔米特插值等等。
##python定义多项式就是将多项式系数保存在一个列表中
p = a[n]
for i in range(1,n+1):
p = a[n-i] + p*x
"""
p = a[0] + a[1]*x + a[2]*xˆ2 +...+ a[n]*xˆn
计算多项式p的一阶导数dp以及二阶导数ddp
"""
class Polynomials:
def __init__(self, a):
self.a = a
# 计算多项式的一阶导数dp以及二阶导数ddp
def evalPolynomials(self,x):
n = len(self.a) - 1
p = self.a[n]
dp = 0.0
ddp = 0.0
for i in range(1,n+1):
ddp = ddp*x + 2.0*dp
dp = dp*x + p
p = p*x + self.a[n-i]
return p,dp,ddp
### 创建多项式对象px = 1 + x + 2xˆ2 + 3xˆ3 + 4xˆ4
px = Polynomials([1,1,2,3,4])
## px在x=1处的一阶导数与二阶导数
[p0,p1,p2] = px.evalPolynomials(1)
print(p0,p1,p2)
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微积分——什么是导数- 1.1 “derivative”的词源 作为名词,始于15世纪中期,词义为“a derived word or form, a word formed immediately or remotely from another or a root (派生词或派生形式,直接或者由另一个词或词根组成的词)”,由形容司“derivative (派生的)”转化而来。常用词义“that which is derived or deduced from another(由另一个事物派生或演绎而来的事物)”始于1590年代,其数学意义“a derivative function (导数函数)”始于1670年代。 1.2 “derivative”的数学意义来源 Newton(牛顿)将“derivative”称为“Fluxion(流数)”,即流(flow): f′是“流动的(fluent)”(即“流动的功变化的量”)函数f (牛顿用点号(.)代替上撇号(′)( primes);上撇号(′)( primes)是由拉格朗日(Lagrange)在18世纪末引入的)的“流数(fluxion)”。但是随着莱布尼茨的符号和他基于微分(differentials)的方法被普遍采用,牛顿的这个方便的术语就被废弃了。 函数导数的传统名称曾经称为“微分系数(Differential Coefficient)”。之所以使用这个名称是因为当我们将等式写作df(x)=f′(x)dx时f′(x)是dx(微分)的系数。事实上,在18世比和19世纪早期,数学家们对无穷小微分比微分系数更感兴趣。 然而,随着分析变得越来越严谨,注意力转向了导数f′而不是微分f′(x)dx。认识到,函数导数f′是由函数“导出的、衍生出的、演绎出的、推导出的、等等(derived)”,在语法意义上,名词的复数形式是派生于名词的单数形式。在拉丁语中,动词“dērīvāre”词义为“to lead or draw off (water or liquid), to divert, derive (words)(引导或脱去(水或液体),转移、派生(词汇))”,可以解析为由前缀“dē”(词义为“from(来自)”)+“rīvus”(词义为“*, stream of water(小溪、水流)”)构成。这就是对于函数导数f′“导数函数(derived function)”或者“导数(derivative)”的源头。 尽管“derive”流行用于表示导数计算的动词,大部分数学家喜欢用“微分(differentiate)”表示,例如: “针对x微分, 你将会得到相同的函数。” 1.3 “derivative”中文翻译为“导数” 根据前面的叙述,函数导数f′是由函数“导出的、衍生出的、演绎出的、推导出的、等等(derived)”的意义,中文将其翻译为“导数”。 2. “导数(derivative)”的数学意义