理解人工智能的基础：从线性二阶近似到线性近似的简单解析

咋一看，这玩意又是啥，这里先不说明，先给出一个公司：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)。函数f(x)近似于 f(x0) + f'(x0)(x - x0)的值。有没看着似曾相识，没错就是我们在导数这篇文章中提到的切线的斜率计算公式：y-y0 = m(x-x0)，上面那个公式的证明如下：

近似值其实就是一个求极限的过程，当然我们的前提是x0这点在f(x)上是有值的（即连续的，连续才可导），最终：f'(x0) ≈ Δf(Δx) / Δx， 可以得到：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)

例子一： f(x) = lnx的近似

当在x0为1的位置上，上图的lnx对数函数的图像上看x0为1，那么lnx就是0，斜率是1，当x值越趋近于1的时候，就函数f(x)=lnx的值就越趋近于0，也就有在x为1的那条切线：y = x-1。f(x) = lnx ≈ x + 1。

例子二：

上图计算可以看出，当x->0的时候，近似公式为：f(x) ≈ f(0) + f'(0)x，公式代入后，分别计算出： sinx ≈ x、cosx ≈ 1、e^x ≈ 1 + x。 这三个函数，从函数图像上看也很容易得到如上近似答案。

上图看出，在x为0的点，三种函数的切线函数，就是三个函数的近似