如何轻松掌握复合函数高阶导数的求解技巧

对于复合函数 $f(g(x))$，我们可以使用链式法则来求它的高阶导数。

链式法则指出，如果 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 都是可导函数，则 $y=f(g(x))$ 也是可导函数，其导数为：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)g'(x)$

其中 $f'(u)$ 表示 $f(u)$ 对 $u$ 的导数，$g'(x)$ 表示 $g(x)$ 对 $x$ 的导数。

那么，对于复合函数 $f(g(x))$ 的二阶导数，我们可以首先求出它的一阶导数，再对一阶导数求导。具体地，假设 $u=g(x)$，则有：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)g'(x)$

对上式两边同时对 $x$ 求导，得到：

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(f'(u)g'(x)\right)=\frac{d}{du}\left(f'(u)\right)\cdot\frac{du}{dx}\cdot g'(x)+f'(u)\cdot\frac{d}{dx}\left(g'(x)\right)$

将 $u=g(x)$ 代入，得到：

$\frac{d^2y}{dx^2}=f''(g(x))\cdot[g'(x)]^2+f'(g(x))\cdot g''(x)$

这就是复合函数的二阶导数公式。同样地，我们可以使用归纳法推导出更高阶的导数公式。