实验一：基于李雅普诺夫稳定理论的自适应控制-仿真实践探索
自适应控制——仿真实验一 用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律
- 一、问题描述
- 二、问题建模
- 三、问题求解
- 附录：实现MATLAB代码
- 参考书目
一、问题描述
设控制对象的状态方程为
x
˙
p
=
A
p
(
t
)
x
p
+
b
p
(
t
)
u
(1)
\dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\boldsymbol{A}_{p}(t) x_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) u \tag{1}
x˙p=Ap(t)xp+bp(t)u(1)
式中
A
p
=
[
0
1
−
6
−
7
]
,
b
p
=
[
2
4
]
(2)
\boldsymbol{A}_{p}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -6 & -7 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}_{p}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right] \tag{2}
Ap=[0−61−7],bp=[24](2)
参考模型的状态方程为
x
˙
m
=
A
m
x
m
+
b
m
r
(3)
\dot{\boldsymbol{x}}_{m}=\boldsymbol{A}_{m} x_{m}+\boldsymbol{b}_{m} r \tag{3}
x˙m=Amxm+bmr(3)
式中
A
m
=
[
0
1
−
10
−
5
]
,
b
m
=
[
1
2
]
(4)
\boldsymbol{A}_{m}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -10 & -5 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}_{m}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right] \tag{4}
Am=[0−101−5],bm=[12](4)
用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律。
二、问题建模
由于控制对象的参数（状态矩阵 A p \boldsymbol{A}_{p} Ap 和控制矩阵 b p \boldsymbol{b}_{p} bp ）一般是未知的，且无法直接调整。所以为改变控制对象的动态特性，需采用前馈控制加反馈控制。
控制信号
u
u
u 由前馈信号
K
r
Kr
Kr 和反馈信号
F
x
p
Fx_p
Fxp 组成，即
u
=
K
r
+
F
x
p
(5)
u=K r+F \boldsymbol{x}_{p} \tag{5}
u=Kr+Fxp(5)
式中，
r
r
r 为
m
m
m 维输入向量，
x
p
\boldsymbol{x}_{p}
xp 为
n
n
n 维状态向量，
K
K
K 为
m
×
m
m \times m
m×m 前馈增益矩阵，
F
F
F 为
m
×
n
m \times n
m×n 反馈增益矩阵；具体在本次仿真实验中，输入向量维度
m
=
1
m=1
m=1，状态向量维度
n
=
2
n=2
n=2。
将(5)式代入控制对象的状态方程，可得
x
˙
p
=
[
A
p
(
t
)
+
b
p
(
t
)
F
]
x
p
+
b
p
(
t
)
K
r
(6)
\dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\left[\boldsymbol{A}_{p}(t)+\boldsymbol{b}_{p}(t) F\right] \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) K r \tag{6}
x˙p=[Ap(t)+bp(t)F]xp+bp(t)Kr(6)
设系统的广义状态误差向量为
e
=
x
m
−
x
p
(7)
\boldsymbol{e}=\boldsymbol{x}_{m}-\boldsymbol{x}_{p} \tag{7}
e=xm−xp(7)
由参考模型的状态方程，结合(6)式及(7)式，可得：
e
˙
=
A
m
e
+
(
A
m
−
A
p
−
b
p
F
)
x
p
+
(
b
m
−
b
p
K
)
r
(8)
\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{A}_{m} \boldsymbol{e}+\left(\boldsymbol{A}_{m}-\boldsymbol{A}_{p}-\boldsymbol{b}_{p} F\right) \boldsymbol{x}_{p}+\left(\boldsymbol{b}_{m}-\boldsymbol{b}_{p} K\right) r \tag{8}
e˙=Ame+(Am−Ap−bpF)xp+(bm−bpK)r(8)
在理想情况，即
e
→
0
e \rightarrow 0
e→0 的情况下，(8)式等号右端后两项应等于0。设前馈增益矩阵
K
K
K 和反馈增益矩阵
F
F
F 的理想值分别为
K
ˉ
\bar{K}
Kˉ 和
F
ˉ
\bar{F}
Fˉ。
则最终可将(8)式写成
e
˙
=
A
m
e
+
b
m
K
ˉ
−
1
Φ
x
p
+
b
m
K
ˉ
−
1
Ψ
r
(9)
\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{A}_{m} \boldsymbol{e}+\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1} \Phi \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1} \Psi r \tag{9}
e˙=Ame+b