自适应控制——仿真实验三用超稳定性理论设计模型参考自适应系统-三、问题求解

最编程 2024-02-06 17:22:50

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将原题中给定的参考模型和可调系统的传递函数写成输入输出方程的形式：
$\begin{gathered} &\left(0.08^{2} p^{2}+2 \times 0.08 \times 0.75 p+1\right) y_{m}=r \\ &\left(T_{1}^{2} p^{2}+2 T_{1} \xi_{1} p+1\right) y_{s f}=k_{1} r_{f} \end{gathered} \tag{17}$
再将上式写成首一古尔维兹多项式的形式：
$\begin{gathered} \left(p^{2}+\frac{2 \times 0.08 \times 0.75}{0.08^{2}} p+\frac{1}{0.08^{2}}\right) y_{m}=\frac{1}{0.08^{2}} r \\ \left(p^{2}+\frac{2 T_{1} \xi_{1}}{T_{1}^{2}}+\frac{1}{T_{1}^{2}}\right) y_{s f}=\frac{k_{1}}{T_{1}^{2}} r_{f} \end{gathered} \tag{18}$
对照(7)式和(11)式，可知相关参数如下：

$\begin{aligned} &a_{m 1}=\frac{2 \times 0.08 \times 0.75}{0.08^{2}}=18.75 \\ &a_{m 0}=\frac{1}{0.08^{2}}=156.25 \\ &b_{m 0}=\frac{1}{0.08^{2}}=156.25 \\ &a_{s 1}(v, t)=\frac{2 T_{1}(t) \xi_{1}(t)}{T_{1}^{2}(t)}=\frac{2(0.8-0.01 t)}{(0.036+0.004 t)} \\ &a_{s 0}(v, t)=\frac{1}{T_{1}^{2}(t)}=\frac{1}{(0.036+0.004 t)^{2}} \\ &b_{s 0}(v, t)=\frac{k_{1}(t)}{T_{1}^{2}(t)}=\frac{1.12-0.008 t}{(0.036+0.004 t)^{2}} \end{aligned} \tag{19}$

进而可知， $a_{s 1}(0) \approx 44.4$ ， $a_{s 0}(0) \approx 771.6$ ， $b_{s 0}(0) \approx 864.2$ 。

设输出的广义误差为
$\varepsilon_{f}=y_{m f}-y_{s f} \tag{20}$
串联补偿器方程为
$\varepsilon_{f}=\left(d_{1} p+d_{0}\right) \varepsilon_{f} \tag{21}$
选取的自适应规律如下

$\begin{aligned} a_{s i}(v, t)&=\int_{0}^{t} \varphi_{1 i}(v, t, \tau) d \tau+\varphi_{2 i}(v, t)+a_{s i}(0), i=0,1 \\ b_{s 0}(v, t)&=\int_{0}^{t} \psi_{10}(v, t, \tau) d \tau+\psi_{20}(v, t)+b_{s 0}(0) \end{aligned} \tag{22}$
参考(16)式的形式，可得可调参数的自适应规律如下：
$\begin{aligned} \varphi_{1 0}&=-k_{a 0}(t-\tau) v(\tau) y_{sf}(\tau), \quad \tau \le t \\ \varphi_{2 0}&=-k_{a 0}^{\prime}(t) v(t) y_{s f}(t) \\ \varphi_{1 1}&=-k_{a 1}(t-\tau) v(\tau) p y_{sf}(\tau), \quad \tau \le t \\ \varphi_{2 1}&=-k_{a 1}^{\prime}(t) v(t) p y_{s f}(t) \\ \psi_{1 0}&=k_{b 0}(t-\tau) v(\tau) r_{f}(\tau), \quad \tau \leqslant t \\ \psi_{2 0}&=k_{b 0}^{\prime}(t) v(t) r_{f}(t) \end{aligned} \tag{23}$

式中， $k_{a 0}(t-\tau)$ 、 $k_{a 1}(t-\tau)$ 和 $k_{b 0}(t-\tau)$ 为正定积分核， $k_{a 0}^{\prime}(t)$ 、 $k_{a 1}^{\prime}(t)$ 和 $k_{b 0}^{\prime}(t)$ 对 $\forall t \ge 0$ 均为非负标量增益。

下面再讨论一下引入的串联补偿器中的参数 $d_0$ 和 $d_1$ 的取值范围，系统的等价前向线性方块传递函数为：
$h(s)=\frac {d_1(s)+d_0} {s^2+a_{m1}s+a_{m0}} \tag{24}$
其对应的能控标准型如下：
$\begin{aligned} \boldsymbol{\dot e} &= \boldsymbol{A_m} \boldsymbol{e} + b \omega_1 \\ v &= d^T \boldsymbol{e} \end{aligned} \tag{25}$
式中， $\boldsymbol{e}=\left[ \begin{matrix} \varepsilon \\ \dot \varepsilon \end{matrix} \right]$ ， $\boldsymbol{A_m}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -a_{m0} & -a_{m1} \end{matrix} \right]$ ， $b=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]$ ， $d=\left[ \begin{matrix} d_0 \\ d_1 \end{matrix} \right]$ 。

要求 $h (s)$ 是一个严格正实传递函数，则必定存在正定对称矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使方程式(26)成立：
$\left\{ \begin{aligned} &P A_m + A_m^T P = -Q\\ &P b = d \end{aligned} \right. \tag{26}$
由此可解得：
$d_0 > 0, \quad \frac {d_1} {d_0} > \frac {1} {a_{m_1}} =0.053 \tag{27}$