线性代数入门：第三讲 - 矩阵乘法与逆矩阵解析

怎么计算两个矩阵相乘？

A*B=C
（1）A的第i行点乘B的第j列得到C的第i行第j列结果
这个不多说了

（2）A乘B的列，即对A的列进行线性操作得到C的对应列
（3）同理，A的每一行对B进行行操作得到C的每一列
（4）分块矩阵乘法
（5）（这个想法比较新）上面的想法都是左边矩阵看行、右边矩阵看列。如果我拿左边的列向量乘左边的行向量会怎么样？
举例，

一个列向量乘上一个行向量，会张成一个矩阵。这个矩阵的每一行都与右边行向量平行，每一列都与左边列向量平行。（以后会讲到，这种矩阵秩为1）
AB可以看作为A的每一列乘B的对应列的矩阵的和。

A的逆矩阵？

首先A的逆矩阵存在吗？
A可逆的充分必要条件为A不是奇异矩阵。
为什么奇异矩阵的逆不存在？
不严谨地从各个方面“证明”一下。。。

（1）A 的determinant为0. 然后根据矩阵乘法的行列式的性质，得出，不存在这样的矩阵使得乘A以后得到单位矩阵（determinant=1）
（2）A乘一个矩阵，或者一个矩阵乘A，就是对A进行列或者行的线性操作，然而，观察这个A，它的行向量或者说列向量只有一个方向，咋可能线性组合出[0,1]和[1,0]呢
（3）存在x不等于0，使得Ax=0。用反证法，如果A有逆，那么,
;矛盾
所以A没有逆。

假设A有逆，那么我应该如何求出A的逆矩阵呢？

求逆其实和解方程组是一回事。

我希望求解出abcd,
[a,b]' 列操作A得到[1,0]'
[c,d]'列操作A得到[0,1]'

引出高斯-若当方法。

然后行操作消元法使左边半边的矩阵成为单位矩阵，然后右边半边就是我们要求的逆矩阵了。
怎么理解这个方法？
对矩阵行操作消元其实就是在矩阵左乘了一个矩阵E。
EA=I,（E其实就是A的逆矩阵了）
同时，从block的角度，E乘了上面那个高斯若当矩阵右半边，
EI=E，
这样看右半边就得到结果了。